重积分的计算

    

    一、二重积分与三重积分的定义

    重积分有深刻的几何与物理背景，我们生活在一个三维空间，很多现象用一维的知识是难以解决的，故对重积分的背景问题必须稍有认识，二重积分的背景是如何计算曲顶柱体的体积；三重积分的背景可以是三维物体对其外部一点的引力等等。

    重积分的定义完全类似于Riemann积分的定义：分割，取点并作和，求极限。

    重积分的积分区域通常是平面或空间的有界闭区域，而被积函数往往是连续函数。可积性的讨论往往显得不甚重要，关键是如何计算。

    详细的定义在此不再罗列。

    二、重积分的计算之一—化为累次积分

    1．设平面闭区域D为X－型区域：φ₁（x）≤y≤φ₂（x），a≤x≤b，则

    2．设平面闭区域D为Y－型区域：φ₁（y）≤x≤φ₂（y），c≤y≤d，则

    

    3．设Ω为空间的有界闭区域，其在xy平面上的投影为D，Ω是由定义在D上的两个连续曲面Z＝φ（x，y）和Z＝ψ（x，y）（φ（x，y）<ψ（x，y）），以及过D的边界竖起的垂直于xy平面的柱面所围成，则

    

    而对于右边的D上的二重积分，则可据第1、2条继续化为累次积分。如设

    Ω＝｛（x，y，z）｜a≤x≤b，y₁（x）≤y≤y₂（x），z₁（x，y）≤z≤z₂（x，y）｝

    则有

    

    积分顺序是先写后积。

    4．如果积分区域与某坐标轴相垂直的截面面积（这是关于这个坐标变量的函数）易求而被积函数又只含此坐标变量，那么此三重积分可化为二重积分再定积分计算。

    设Ω＝｛（x，y，z）｜c≤z≤d，（x，y）∈D_z｝，则

    

    特别当f仅是z的函数时

    

    式中｜D_z｜代表截面D_z的面积。

    5．对称性的运用，当且仅当积分区域与被积函数都具有对称性时，才可用此性质。

    几点说明：

    1．有时同一区域既是X型又是Y型，则要合理地选取某种型号，对于三重积分，更具有选择余地。

    2．有时积分区域既不是X型又不是Y型，则须将其进行恰当分割，成为若干个简单区域之并。

    3．当被积函数是分“段”函数（即在不同区块内表达式不同）时，亦该将积分化为几个分区域积分之和。

    4．当积分区域和被积函数都具有某种对称性时，可实现简化。

    例1　计算下列重积分

    （1）　D是以（0，0），（0，1），（1，1）为顶点的三角形区域；

    

    解　（1）D既是X－型又是Y－型区域，但视为X－型区域则积不出，必须视为Y－型区域

    

    （2）利用对称性，

    （3）分析，被积函数

    

    又被积函数与积分区域都关于坐标轴对称，因此只要计算第一象限之部分。

    

    （双曲线y²－x²＝3与园周x²＋y²＝5在第一象限之交点为M（1，2）；涉及一重积分的计算内容非我们现在之重点，故不详细写出）

    例2　设f（t）为连续函数，证明

    

    证明　

    例3　计算下述三重积分

    （1）　Ω由曲面z＝xy，y＝x，x＝1，z＝0所围成；

    （2），Ω是四面体：x，y，z≥0，x＋y＋z≤1；

    （3）：Ω是椭球体之上半部分；

    （4）　Ω是上小题中的整个椭球；

    （5）　Ω是由曲面z＝xy和平面x＋y＋z＝1，及z＝0所围成；

    （6）　Ω为棱台，六个顶点为A（0，0，1），B（0，1，1），C（1，1，1）；A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（2，2，2）。

    解　（1）Ω在xOy平面上的投影区域是

    D＝｛（x，y）｜0≤x≤1，0≤y≤x｝

    底面即为z＝0，顶面z＝xy

    

    或解：先定出高度z＝z₀时，Ω的截面

    

    依第四款化为先二重积分再定积分：

    

    

    （3）高为z的平面去截积分区域，截面在平面上的投影D_z是一个椭园：

    

    （4）依结构对称性，先算，方法如上，得出值为，由对称性知

    注　（3）（4）两题用广义球坐标变换求解之法见后。

    （5）由上述图形看出，积分区域的底在xy平面内，为三角形底面，顶由两部分构成，一部分平顶：z＝1－x－y（当（x，y）∈D₁时）；另一部分为曲顶：z＝xy（当（x，y）∈D₂时）。

    

    图7-1

    

    剩下的是定积分的计算，省略。

    （6）作为棱台，其上底面即顶为大三角形A₂B₂C₂，下底面即为底三角形A₁B₁C₁。以高为z的平面去截，得截口区域D_z＝｛（x，y）｜0≤x≤y，0≤y≤z｝为Y型区域。

    

    或解：视梯形A₁B₁B₂A₂为底，梯形A₁C₁C₂A₂为顶，则底区域为yz平面上的

    D＝｛（y，z）｜0≤y≤z；1≤z≤2｝

    顶面方程为x＝y，亦即积分区域可以写为

    Ω＝｛（x，y，z）｜0≤x≤y，0≤y≤z，1≤z≤2｝

    

    三、重积分计算之变量替换

    1．二重积分的变量替换

    

    特取极坐标变换x＝rcosθ，y＝rsinθ，就得

    

    2．三重积分的变量替换

    设有三维空间的变量代换

    在与情形1完全类似的变换条件下，有

    

    3．柱坐标变换

    

    注　请大家思考柱坐标网的几何含义：r＝常数、θ＝常数、z＝常数各代表什么样的曲面，或了解柱坐标系中的“长方体”的几何形状。

    4．球坐标变换

    

    变量φ从z轴的正向起算（若从xy平面起算，则，变换式要改）。

    

    

    注　了解球坐标中“长方体”的含义（几何形态）。

    5．广义球坐标变换

    

    在广义球坐标下，三重积分的变量替换公式：

    

    重积分变量替换的要点是：

    i）使被积函数得到简化，或者积分区域变得易于定限；

    ii）关键在于定出变换T的原象区域D′或Ω′；

    iii）实际操作中，常常会先给出逆变换

    而雅可比行列式计算遵从如下公式：

    注　此式完全类似于一元反函数求导法，请阅§6.3末（18）式。

    例4　选择适当变量替换计算下列各二重积分：

    

    解　（1）作代换，则积分区域简化成uv平面中的矩形｝

    

    注　本题可直接从对称性分析得出结果是0（这叫做不算之算）！！由方程｜x｜＋｜y｜≤1表示的斜置方形区域皆可采用此变换化为标准方形区域。

    （3）同（2）题变换，

    通过代换，很难算的问题迎刃而解，请各位读者多多体会其中妙处。

    （4）法一　令

    

    法二　令而另一个变换式如何选取呢？尝试用，则有

    　　　

    

    或行不行呢？此时，算得

    D″＝｛（u，v）｜｜v｜≤u而0≤u≤1｝

    

    思考　若令行不行呢？此时区域D′难求一些。读者不妨一试。

    （5）区域关于y轴对称，故被积函数中关于x的奇次幂项的积分等于0。

    于是原积分首先化简为

    

    为了使被积函数和积分区域都得以简化，先令

    此积分区域完全在uv平面u轴的下方（见图7-2-（1）），由对称性

    

    

    

    图7-2

    （6）其实本题是广义二重积分。

    被积函数有三个乘积因子，结合积分区域的特征易联想到应该令u＝x＋y，第二个变量如何令呢？

    若令易想到，但x＝0时没有意义。不妨作为广义二重积分计算。此时，

    

    所以原积分变为

    

    对三重积分的变量替换，基本要求是掌握常规的柱坐标变换和球坐标变换。

    例5　求以下三重积分：

    （1），Ω为椭球；

    （2），Ω为椭园锥面：与平面z＝c所围成；

    （3），Ω由z＝ay²，z＝by²，z＝αx，z＝βx，z＝h所围成的y>0的部分（h>0，0<a<b，0<α<β）；

    （4），Ω为单位球体x²＋y²＋z²≤1。

    解　（1）此题即为例3的第（3）小题。现在依据广义球坐标变换去解。

    　　　，显得简洁明快。

    （2）从积分区域分析，纯粹的球面坐标或广义球面坐标尚不能直接化简，故考虑先化为一个二重积分和一个一重积分之累次积分，再作二维变量替换。积分区域Ω在xOy平面的投影区域是D：

    

    　　

    再利用二重积分的广义极坐标变换x＝arcosθ，y＝brsinθ

    

    注　

    其中D_z为高度为z的平面去截积分区域所得截口在xy平面的投影

    

    其面积为。

    （3）令，则Ω变成了

    Ω′＝｛a≤u≤b，α≤v≤β，v≤w≤h｝

    且求得，于是

    （4）为简化被积函数，考虑变换使x＋y＋z＝0是新坐标系中uv坐标平面。亦即作一个坐标系的旋转，新坐标系中的三个坐标轴单位向量是

    取作x＋y＋z＝0的单位法向量，是平面x＋y＋z＝0内的两个正交单位向量，例如

    

    这样得到的变量替换是一个正交变换，其表达式是

    

    正交变换的雅可比行列式｜J｜＝1，单位球面仍变作单位球面。

    

    再利用柱面坐标u＝rcosθ，v＝rsinθ，w＝w，｜J｜＝r，积分区域就变成

    Ω^*：0≤θ<2π，r²＋w²≤1

    

    例6　利用重积分计算面积或体积

    （1）曲线（x＋2y）²＋（2x＋3y）²＝8所围区域的面积S；

    （2）曲面所围区域Ω的体积V。

    解　（1）令u＝x＋2y，v＝2x＋3y，则D变为D′：u²＋v²≤8，且｜J｜＝1

    

    （2）令　区域Ω变为Ω′：0≤r≤1，0≤φ≤π，0≤θ≤2π，

    经较为繁琐的行列式计算得

    

    或令x＝au³，y＝bv³，z＝cw³，先将Ω变换到Ω₁：u²＋v²＋w²≤1；

    再对Ω₁使用球坐标变换。

    

    注　将复杂的变换分为两步较简单的或较熟悉的变换，可以极大地简化变换雅可比行列式的计算。

    习题7.1

    1．对下列累次积分，先换序再计算：

    

    

    （浙江省高等数学竞赛2006年）

    

    2．求累次积分

    （浙江省高等数学竞赛2007年）

    3．求，其中D＝｛（x，y）｜－1≤x≤1，0≤y≤1｝。

    （浙江省高等数学竞赛2004年）

    4．求积分

    （北师大2002年）

    5．求积分，其中f（u）为一元连续函数。

    D：－1≤x≤1，x³≤y≤1。

    6．求积分

    7．计算下述各三重积分：

    

    8．求，其中

    

    Ω：－1≤x≤1，－1≤y≤1，－1≤z≤1。

    （北师大2005年）

    9．计算广义重积分。

    （北师大2006年）

    10．求曲面（x²＋y²）²＋z⁴＝y围成的立体体积。

    11．求曲面和三个坐标平面围成的在第一卦限部分区域的体积。

    12．设f在正方形区域［0，1；0，1］上连续，在（0，0）处可微，f（0，0）＝0。求极限

    

    13．设函数f在［0，＋∞）上连续，且满足方程

    

    求f（t）

    （1997年数学（三））

    14．设f（t）为连续函数，t≥0。并且

    

    求f（t）。

    15．设f（u）为连续函数，Ω为x²＋y²＋z²≤1，证明

    

    16．设f（u）连续，f（1）＝1，定义

    证明：F′（1）＝4π。

    （华东师大98年）

    17．设f（x₁，x₂，…，x_n）为n维方形域0≤x_i≤1（i＝1，2，…，n）内的连续函数。证明

    

    18．设f（u）为连续函数，证明

    

    19．设f（u）∈C（R），n∈N，n维区域D：0<x₁<x₂<…<x_n<1，证明：

    

    （北京师范大学2001年）

    以下三题可以采用n维空间的球面坐标变换。

    x₁＝rcosφ₁，

    x₂＝rsinφ1cosφ₂，

    ……

    x_n－1＝rsinφ₁sinφ₂…sinφ_n－2cosφ_n－1，

    x_n＝rsinφ₁sinφ₂…sinφ_n－2sinφ_n－1。

    变换的雅可比行列式是

    J＝r^n－1sin^n－2φ1sin^n－3φ₂…sinφ_n－2。

    20．计算

    21．设f（u）为连续函数，化n重积分

    

    22．求n维球体的体积。