直角坐标图解法

    3.4.2　直角坐标图解法

    在3.3节中所建立的解决物像位置共轭关系的牛顿公式和高斯公式，可以用直角坐标图解的形式来反映。在已知系统的特性参数f、f＇及物距（或像距）时，利用直角坐标图解法，在方格纸上作业，可以快速、准确地求出像距（或物距）。

    由牛顿公式xx＇=ff＇，若以比例形式表示，则有

    

    若将上述比例关系以高斯公式系的参量（l，l＇）表示，则有

    

    

    

    图3.17　直角坐标图解法

    

    表3.3　正透镜的物像共轭变化规律

    

    

    表3.4　负透镜的物像共轭变化规律

    

    式（3.33a）和式（3.33b）式的比例关系，可以用直角坐标的图解形式来反映。如图3.17所示，直角坐标系YOZ中，OY轴代表光轴方向，假设光学系统的物方主面与像方主面重合（这样的假设对物像共轭位置的关系没有任何影响），则可认为直角坐标系的原点O就是重合的主点H、H＇的位置；F和F＇为系统的物方和像方焦点，作为一般情况f＇≠－f。轴上物点A经系统成像在A＇点，显然物距与像距符合牛顿公式与高斯公式的关系。为找到图解求像的规律，将光轴上像方焦点F＇和像点A＇绕O为中心逆时针转90°，到达OZ轴上的F_z＇和A_z＇点。这样，若在OY轴上表示物方线量坐标（f，x，l），则在OZ轴上可表示像方线量坐标（f＇，x＇，l＇）。连接A点和OZ轴上A_z＇点，并从F点和OZ轴上F_z＇点分别作OY轴和OZ轴的垂线，交于AA_z＇（又可称为“轭线”）上的Q点，Q点在直角坐标YOZ中的坐标位置是Q（f，f＇），该点是表征系统特性的特征点，又可称之为“支点”。

    图3.17中，ΔA_z＇F_z＇Q∽ΔQFA，因此有，亦即，由此得到比例关系式（a）。类似地，ΔA_z＇F_z＇Q∽ΔA_z＇OA，可以得到，此即比例关系式（b）。

    上述分析表明，直角坐标系YOZ中相似的直角三角形各线段的比例关系恰好可反映物像共轭位置的解析关系。因此，由直角坐标图解法所得到的物像位置共轭关系，实质上就是由牛顿或高斯公式所确定的物像位置共轭关系。

    如果已知系统的焦距（f，f＇），则可在OY和OZ轴上确定F和F_z＇点，进而确定支点Q的位置。当给定物点A的位置（x，l）时，则过A与Q点作连线，其与OZ轴（纵轴）的交点A_z＇即反映像点A＇的位置（x＇，l＇）。反之，若给定A＇位置也可求出A点位置。

    物方焦距f与高斯物距l在OY轴上以O为原点，左为负，右为正；像方焦距f＇和高斯像距l＇在OZ轴上以O为原点，下为负，上为正。物距x和像距x＇则分别以OY轴上的F点和OZ轴上的F_z＇点为原点，遵守相应的符号规则。根据物点与像点相对于O点的位置，可以判断物像的虚实：物在O点的左方为实，右方为虚；像在O点的上方为实，下方为虚。

    如果系统为正光组，即f＇＞0、f＜0，则支点Q在第二象限；若系统为负光组，即f＇＜0、f＞0，则支点Q在第四象限。过O点与支点Q的连线是表征系统特性的特征线，又称比例线。由于系统的焦距与折射率之间存在如下关系：，因此，如果知道系统两边介质的折射率，则比例线的斜率（方向）即可确定：

    式中α为比例线与光轴的交角（按锐角度量）。如：在油浸显微物镜中，若像方为杉木油（n＇=1.515），则有α=56°34＇；若像方为二碘甲烷（n＇=1.741），则α=60°07＇。

    特别情况，如光组位于同种介质中（例如空气中），且纵横坐标取相同的单位时，则比例线为一条与光轴（OY轴）交角为45°的斜线。这是实际应用中的大多数情况（如位于空气中，正透镜的比例线在第二象限；负透镜在第四象限）。

    在求出A_z＇点位置后，若将F_z＇点和A_z＇点绕O点按顺时针旋转90°至OY轴（即光轴）上，则得到F＇点以及与A点共轭的实际像点A＇点。

    图3.18给出了直角坐标图解法的几组结果。

    ［例3.2］根据给定条件，利用直角坐标图解法求解如下各小题：

    （1）已知f₁＇=－f₁=2，l₁=－6，求l₁＇=?

    ［解］过支点Q₁的比例线①在第二象限与OY夹45°，过A₁、Q₁的直线与OZ轴交于A＇_1z，有l₁＇=3，为实物实像。

    

    

    图3.18　［例3.2］各题图解求像的结果

    （2）已知n₂=1，n₂＇=1.5，f₂＇=4.5，x₂=1.6，求x₂＇=?

    ［解］首先由可以决定比例线②的方向α（在第二象限，与OY轴夹56°角），进而由f₂＇=4.5，可确定f₂=－3。过A₂、Q₂的连线决定A＇_2z，有x₂＇=－8.5，为实物虚像。

    （3）已知f₃＇=－f₃=－2，l＇_A3=6，求l_A3=?又l_B3=6，求l＇_B3=?

    ［解］过支点Q₃的比例线③在第四象限，与OY轴夹角45°，过A＇_3z、Q₃的连线与OY轴交于A₃，l_A3=1.5，为虚物实像。又过B₃、Q₃的连线与OZ轴交于B＇_3z，得到l＇_B3=－3，为虚物虚像。

    最后应指出，若已知物高y，欲求像高y＇，也可利用图解的形式，在直角坐标系中迅速求得结果。由于，因而过轴外物点B和F点连线与OZ轴的交点即可决定像高y＇。