4.3.5 达朗伯原理
达朗伯原理提出了另一种解决动力学问题的方法——动静法，即把动力学问题从形式上转化为静力学问题，然后用静力平衡条件求解。
1.惯性力的概念
当质点受到其他物体的作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力，称为质点的惯性力。惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。惯性力的表达式为
FI=－ma
2.质点的达朗伯原理
设质点M，质量为m，受到主动力合力F、约束力合力N作用。合力R=F+N。在合力R作用下具有加速度a，则
R=F+N=ma
图4.3-10
令惯性力FI=－ma，并假想把惯性力作用于质点上，则R+FI=0，即F+N+FI=0。此式即为质点的达朗伯原理。表示如果在运动的质点上，假想加上惯性力，则作用于质点的主动力F、约束力N和惯性力FI成平衡。应该注意，这里的“平衡”没有实际的物理意义，它不过是质点运动微分方程的另一种形式，即把ma项移到左边。
3.质点系达朗伯原理
对质点系内各质点都可列出
Fi+Ni+FIi=0(i=1，2，…，n)
此式即为质点系达朗伯原理。一般地说，它是一个空间任意力系。
4.刚体惯性力系的简化
根据力系简化理论，按刚体的各种运动形式，可分别将惯性力系简化，其结果如表4.3-8所示。
表4.3-8
【例4.3-9】长方形匀质薄板重W，以两根等长的软绳支持，如图4.3-11所示。设薄板在图示位置无初速地开始运动，图中α=30°。求此时绳子中的拉力。
解:(1)对象
以平板为研究对象。
图4.3-11
(2)受力分析
运动开始时板受重力W、软绳约束反力T1、T2。
(3)运动分析并虚加惯性力
由约束条件知平板作平动，在运动开始时板上各点法向加速度为零，切向加速度垂直于软绳，大小aτ=lε。ε为软绳的角加速度，于是平板惯性力的合力RI=
加于质心C上。如图4.3-11所示。
(4)选坐标系，列方程求解
作用于板上的主动力W、约束反力T1、T2及虚加的惯性力RI构成平面平衡力系。根据动静法列方程
ΣmA(Fi)=0
从此可求得T1、T2以及RI，从RI可得到薄板运动的加速度。
今设C=2b，W=1kN，从式(2)，得到
RI=Wsinα=0.50kN
并得到板的加速度
a=gsinα=4.90m/s2
代入式(1)，解得T2=0.56kN
从式(3)可得T1=0.31kN
【例4.3-10】质量为m、长为l的直杆AB的一端A焊接于半径为r的圆盘边缘上，如图4.3-12(a)所示。令圆盘以角加速度ε绕其中心O转动。求其开始转动时AB杆上焊接处由于转动而引起的约束反力。并讨论当圆盘以匀角速ω转动时的情况。
解:以直杆AB为研究对象，由于直杆AB随同圆盘一起绕固定点O以角加速度ε转动，杆上所有的惯性力可以简化为一个过O点的力RI，以及一个力偶MI
O，其大小分别为
图4.3-12
RI的方向及
的转向如图4.3-12(b)所示。根据动静法列方程
当直杆随同圆盘以ω匀速转动时，直杆上的惯性力可简化为如图4.3-12(c)所示。此时，
OCω2，RI通过O点，方向如图4.3-12(b)所示。从此，可求得:
【例4.3-11】轮A、B均质，重为P1、P2，半径均为R，物块C重Q，用一不计质量不伸缩的绳子连接，如图4.3-13所示。轮A在α角斜面上作纯滚动，轮B绕O轴转动。试求物块C下落的加速度a和斜面对轮A的摩擦力F。
解:分析系统受力情况，主动力为P1、P2、Q，约束力为法向反力N、摩擦力F、轴承处约束力XO、YO以及内约束力T1(A与B间的绳子张力)、T2(B与C间的绳子张力)。用动静法求解较方便，则分别在A、B、C上加惯性力:
(因轮A作平面运动，且为纯滚动)，
(因轮B作定轴转动，轮心与O重合)，FI=
(物块C作直线平动)。根据平面力系物体系统平衡，共可列出独立平衡方程式3(A)+3(B)+1(C)=7个，未知量个数为a、N、F、XO、YO、T1、T2共7个，可见是一静定的代表方程组，可解。取A轮，由
图4.3-13
讨论:本题若用动能定理求解加速度a也较方便，但动能定理不能求解摩擦力F。
从本题的求解过程可见，采用动静法解题，可以充分发挥静力学中灵活选取研究对象、巧妙选取矩心和投影轴的优点。
