边界条件的转换

    物理平面上的控制方程转换到计算平面上后，边界条件亦应作相应的转换。物理平面上的第一类边界条件变换后，其值保持不变。但含有边界上导数项的边界条件，则应作变换处理。为一般化起见，把三种类型的边界的条件统一地表示为

    其中：Φ为通用变量；A、B、C为给定的数值；n是边界的外法线上的单位矢量。

    上式亦可写成

    这里，∂Φ／∂n是边界上的法向导数。

    当物理平面的曲线边界变换成计算平面上的直线后，上述边界条件表达式中的A、B、C及Γ都保持不变，但∂Φ／∂n项应作转换。为导出∂Φ／∂n的转换式，我们先引入下列基本关系式：

    1）梯度表达式。按定义任一函数f的梯度为

    其中，i、j为x、y轴上的单位矢量。利用链导法可得

    2）垂直于f（x，y）＝const且指向f增加方向的单位矢量，可表示成为

    令f＝ξ，则据式（8－33）故有

    Δ n（ ξ）＝ ξ｜Δξ｜＝（yηi－xηj）／■α（8－34a）

    同理有

    利用式（8－33）、式（8－34），可以导出任一曲线边界上的法向导数的转换表达式。以∂Φ／∂n（ξ）为例，有

    其中，方向余弦cos（n（ξ），x），cos（n（ξ），y）又可表示为

    所以有

    类似地，可导出的表达式。