可分离变量的方程

    1.5.2　可分离变量的方程

    一阶微分方程

    

    称可分离变量的方程.把式中的y的函数和dy归入方程的一端，x的函数和dx归入另一端，成为

    g(y)dy=f(x)dx，

    这一步骤称为分离变量.分离变量后，两端可分别积分

    ∫g(y)dy=∫f(x)dx.

    设g(y)，f(x)的原函数依次为G(y)与F(x)，即得方程(1.5-2)的通解

    G(y)=F(x)+C.

    【例1.5-2】xOy平面上一条曲线通过点(2，3)，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所平分，求它的方程.

    解:设曲线上任一点为(x，y)，依题意，曲线在点(x，y)的切线在两坐标轴上的截距应为2x及2y(图1.5-1)，切线斜率为

    

    

    

    图1.5-1

    初始条件为x=2时y=3.

    分离变量得

    

    积分得ln|y|=－ln|x|+C，

    

    以初始条件代入得C₁=6，故所求曲线方程为

    

    【例1.5-3】方程(y+1)²+x³=0满足初始条件y|_x=0=－1的解是(　).

    (A)3x⁴－4(y+1)³=0　(B)3x⁴+4(y+1)³=0

    (C)4x⁴－3(y+1)³=0　(D)4x⁴+3(y+1)³=0

    解:分离变量，得

    (y+1)²dy=－x³dx.

    积分得

    以初始条件代入上式，得C=0，故所求的解是

    

    应选(B).