柱面旋转曲面二次曲面

    1.1.4　柱面旋转曲面二次曲面

    1.柱面

    平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线.例如，以xOy平面上的圆x²+y²=R²为准线，平行于z轴的直线为母线的圆柱面

    x²+y²=R²，

    以xOy平面上的抛物线y²=2x为准线，平行于z轴的直线为母线的抛物柱面

    y²=2x.

    在空间直角坐标系中，如果曲面方程F(x，y，z)=0中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面.例如，方程F(x，y)=0一般表示一个母线平行于z轴的柱面，方程G(x，z)=0，H(y，z)=0依次表示一个母线平行于y轴、x轴的柱面.以下三个方程

    

    依次表示母线平行于z轴的椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面.

    2.旋转曲面

    以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.例如，顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面

    z²=a²(x²+y²)，(a=cotα)

    已知旋转曲面的母线C的方程为

    

    旋转轴为z轴，只要将母线的方程f(y，z)=0中的y换成±，便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程，即

    

    同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为

    

    3.二次曲面

    三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.例如:

    球面(x－x₀)²+(y－y₀)²+(z－z₀)²=R²，

    

    

    注意:以上方程是二次曲面的标准方程，还应知道它们的各种变形.

    【例1.1-16】方程z²－x²－y²=0所表示的曲面是(　).

    (A)单叶双曲面　(B)双叶双曲面　(C)旋转双曲面　(D)圆锥面

    解:在顶点位于原点、旋转轴为z轴的圆锥面方程中，令a=1，即为所给方程，故选(D).【例1.1-17】下列结论中，错误的是(　).

    (A)z+2x²+y²=0表示椭圆抛物面(B)x²+2y²=1+3z²表示双叶双曲面

    (C)x²+y²－(z－1)²=0表示圆锥面(D)y²=5x表示抛物柱面

    解:(B)中的方程，即

    x²+2y²－3z²=1，

    表示单叶双曲面，故结论(B)是错误的，应选(B).

    【例1.1-18】将双曲线C:

    

    绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是(　).

    (A)4(x²+z²)－9y²=36　(B)4x²－9(y²+z²)=36

    (C)4x²－9y²=36　　　　　　　　　(D)4(x²+y²)－9z²=36

    

    解:双曲线C绕x轴旋转，只需将C的方程中的y换成±，故应选(B).