1.顾客到达时间和服务时间的Poisson分布
(1)Poisson流(Poisson过程)
在概率论中,我们已经知道随机变量的Poisson分布。设随机变量X服从Poisson分布,则:
P[X=n]= (λkengdiegt;0,λ=0,1,2,…)
如果一个随机变量,概率分布与时间t有关,则称这个随机变量为一随机过程,排队系统中顾客到达的个数就是一个随机过程。
满足以下四个条件的输入流称为Poisson流(Poisson过程)。
①平稳性:在时间区间[t, t+Δt)内到达k个顾客的概率与t无关,只与Δt有关。记为pk(Δt)。
②无后效性:不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。
③普通性:设在[t,t+Δt]内到达多于一个顾客的概率为q(Δt),则
q(Δt)=O(Δt)
即=0
④有限性:任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。即
pk(Δt)=1
(2)Poisson流的概率密度函数
对于一个参数为λ的Poisson流,在[0,t)内到达k个顾客的概率为
pk(t)=e-λt k=0,1,2,… λkengdiegt;0
即服从以λ为参数的Poisson分布。
(3)参数λ的实际意义
设N(t)表示在[0,t)内到达的顾客数的期望值
N(t)=kpk(t)=ke-λt
=(λt)e-λt=(λt)eλte-λt=λt
由此得到
λ=
即λ的实际意义为单位时间内到达的顾客数的期望值,或称平均到达速率。
2.顾客到达时间和服务时间的负指数分布
(1)负指数分布的定义
由概率论可知,如果随机变量T服从负指数分布,则其分布函数为
FT(t)=1-e-μt t≥0 μ≥0
密度函数为
fT(t)=μe-μt t≥0 μ≥0
T的期望值为
E(T)=tfT(t)dt=tμe-μtdt=
T的方差为
D(T)=
(2)负指数分布的性质
负指数分布具有以下重要性质:在排队系统中,如果到达的顾客数服从以λt为参数的Poisson分布,则顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布。
可以看出,“到达的顾客数是一个以λ为参数的Poisson流”与“顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布”两个事实是等价的。
3.k阶Erlang分布
设v1,v2,…,vk是k个互相独立的,具有相同参数μ的负指数分布随机变量,则随机变量为:
S=v1+v2+…+vk
服从k阶Erlang分布,S的密度函数为
f(t)=e-μt tkengdiegt;0
