基数效用论的消费者均衡的条件

    

    基数效用论的消费者均衡条件是:消费者用全部收入购买的各种物品所带来的边际效用,与购买这些物品所支付的价格比例相等,或者说每一单位货币所得到的边际效用相等。假设消费者的收入为M,消费者购买并消费X与Y两种物品,X与Y的价格分别为PX和PY,所购买的商品量分别为QX和QY,X和Y所带来的边际效用为MUX和MUY,每一单位货币的边际效用为λ。这样消费者均衡条件可写为:

    PX·QX+PY·QY=M　(1)

    上述(1)式是限制条件,说明收入是既定的,购买X和Y物品的支出不能超过收入,也不能小于收入。(2)式是消费者均衡的条件,即所购商品带来的边际效用与其价格之比相等,也就是说,每一单位的货币不论用于购买X商品,还是用于购买Y商品,所得到的边际效用都相等。上述消费者均衡的条件可引入拉格朗日乘数加以数学证明。

    设效用函数和预算限制分别为:

    TU=U(X,Y)　(1)

    PX·QX+PY·QY=M　(2)

    我们用拉格朗日函数来求TU的最大值。将(2)式预算限制改写为:

    M-PX·QX-PY·QY=0　(3)

    以不等量的变量λ乘以(3)式得出:

    λ(M-PXQX-PYQY)=0　(4)

    将(4)式与(1)式相加,就可以得出拉格朗日函数:

    L=U(X,Y)+λ(M-PXQX-PYQY)　(5)

    从拉格朗日函数式(5)可知,L是X、Y和λ的函数。L的极大值的必要条件是所在的一阶系数都等于0。

    可以将λ视作实现最佳购买的货币边际效用,它为每单位货币的边际效用值。

    12QX=18QY

    结合:PXQX-PYQY=540

    得:QX=30,QY=20