串联谐振电流计算公式

    

    谐振现象是正弦电流电路的一种特定的工作状态，在无线电和电工技术中得到广泛的应用，但谐振又可能破坏系统的正常工作。所以，对谐振现象的研究有重要的实际意义。工程中通常采用的谐振电路是由电阻、电感和电容组成的串联谐振电路和并联谐振电路。本节先分析RLC串联电路发生谐振时的条件和特征。

    

    

图3-45　RLC串联谐振电路

    一般的谐振定义如下：对于任何含有电感和电容而不含独立源的二端网络，在一定频率下端口电压与端口电流同相位，即电路呈现电阻性，这种工作状态称作谐振。RLC串联电路中发生的谐振称为串联谐振。

    RLC串联电路中实现谐振的条件为

    

    解得

    

    ω0称为串联谐振电路的谐振角频率。由于ω0 =2πf0，则有

    

    f0为谐振频率。当电源频率一定时，可通过调电感或电容来达到谐振条件，因为调解电容值比较方便，通常是调解电容使电路达到谐振。

    下面来讨论串联谐振的特征。

    RLC串联电路发生谐振时，感抗ω0L与容抗互相抵消，其电抗X=0。所以电路的阻抗为

    

    是一个纯电阻，阻抗角=0，阻抗模|Z0|为最小值。虽然电抗X =0，但感抗和容抗均不为φ零，即

    

    ρ称为串联电路的特性阻抗。在无线电技术中，通常还根据谐振电路的特性阻抗ρ与回路电阻R的比值大小来讨论谐振电路的性能，此比值用Q表示，即

    

    Q称为谐振回路的品质因数，工程中简称Q值。

    谐振时电路中电流为

    

    此时，电流与电压同相位，电流有效值，当U一定时，I0达到最大值。电流的最大值只取决于电阻值，而与电感和电容值无关。这是串联谐振电路的一个重要特征，可根据它来判定电路是否发生谐振。

    谐振时各元件上的电压相量为

    

    电感和电容电压相量之和为

    

图3-46　串联谐振时电压相量图

    

    当Q＞＞ 1时，电路在接近谐振时，电感和电容电压会远远超过电源电压。在实际工程中，可根据具体需要利用或者避免这一现象。在电力系统中，出现高电压是不允许的，因为会引起某些电器设备的绝缘损坏，因此要避免这一现象出现。而在电信工程中则相反，这是由于某些信号源的电压十分微弱，常常利用电压谐振来获得较高的电压。例如在收音机中就用串联谐振电路来选择要收听的电台的广播。

    谐振时能量关系如下：

    设电源电压，则电路中的电流和电容电压为

    

    所以电感中的磁场能量和电容中的电场能量为

    

    由于谐振时

    

    故WL和WC的幅值相等，即

    

    所以，谐振时电感中的磁场能量与电容中的电场能量之和为

    

    即谐振时电路中的电磁能量总和是常量，这说明能量的交换只在电感与电容之间进行而不与电源交换能量，电源只向电路电阻提供能量。

    下面研究RLC串联电路中的电流和电压随电源频率的变化规律。

    

图3-47　RLC串联电路的频率特性

    

图3-48　RLC串联电路的谐振曲线

    XL、XC、X = XL-XC、阻抗的模|Z|和辐角φ随频率的变化关系，称为频率特性，如图3-47所示。电流和电压有效值随频率的变化曲线，称为谐振曲线，如图3-48所示。由于电阻电压UR与电流I成正比，所以在图中用同一条曲线表示它们随频率的变化规律。

    从图3-48中电流的谐振曲线可以看出，电路电流只有在谐振频率附近的一段频率内才有较大的幅值，在ω=ω0的谐振频率处出现峰值。当ω稍微偏离谐振频率时，由于|X|的增加，电流将从谐振时的峰值下降，这表明电路逐渐增强了对电流的抑制能力。所以RLC串联电路具有选择最近于谐振频率的电流的性能，这种性能在无线电技术中称为选择性。电路选择性的好坏与电流谐振曲线在谐振频率附近的尖锐程度有关。下面通过电流谐振曲线与品质因数的关系来说明RLC串联电路的选择性。

    串联电路中的电流有效值为

    

    式中：I0 = U/R为谐振时的电流，η= ω/ω0为电流角频率与谐振角频率的比值。

    

图3-49　RLC串联电路的通用谐振曲线

    图3-49为以I/I0为纵坐标，以η为横坐标，对不同Q值的一组曲线。由于这组曲线适用于任何不同参数的RLC串联电路，故称为串联谐振电路的通用谐振曲线。由图3-49看出，通用谐振曲线的形状与品质因数Q的大小有关。Q值越大的谐振曲线，在谐振点附近的形状越尖锐，当η稍微偏离1时，I/I0就急剧下降，这表明电路对非谐振频率的电流具有较强的抑制能力，电路的选择性越好；反之，Q值越小的谐振曲线，在谐振点附近的形状比较平缓，当η稍微偏离1时，I/I0变化不大，这表明电路对非谐振频率的电流的抑制能力较差，电路的选择性就差。以上只是定性的论述，工程中往往给出定量指标。在通用谐振曲线上，所对应的两个频率之间的宽度称为带宽，又称通频带，它规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。

    例3-20　RLC串联电路中R =16.2Ω ， L = 0.52mH ， C = 200pF 。 （1）求谐振频率和品质因数；（2）若电源电压U=1V，其频率等于电路的谐振频率时，求电路的电流和电容电压。

    解　（1）谐振频率和品质因数为

    

    

    （2）谐振时的电路电流和电容电压为