全微分方程

    1.5.5　全微分方程

    若方程

    

    的左端恰好是某个函数u=u(x，y)的全微分，则方程(1.5-6)就称为全微分方程，且

    u(x，y)=C

    就是方程(1.5-6)的隐式通解.

    当函数P(x，y)、Q(x，y)在某单连通域G内具有一阶连续偏导数，且满足

    

    在区域G内恒成立时，方程(1.5-6)就是全微分方程，其通解为

    

    其中M₀(x₀，y₀)为G内适当选定的点.

    【例1.5-8】求方程(5x⁴+3xy²－y³)dx+(3x²y－3xy²+y²)dy=0的通解.

    解:设P=5x⁴+3xy²－y³，Q=3x²y－3xy²+y².因为

    

    所以这是全微分方程，取x₀=0，y₀=0，根据公式(1.5-7)有

    

    于是，方程的通解为