二阶及二阶以上微分方程称为高阶微分方程．一般情况下，求解高阶方程更加困难，其基本思路之一是设法降低方程的阶，从而降低问题的难度．
方程
的右边仅是自变量x的函数．对方程两边逐次积分n次（即降阶n次）可得到通解．
例1 求微分方程y#＝x＋1的通解．
解 方程两边积分一次，得
两边再积分，得
第三次积分，得通解
方程
的右边不显含未知函数y．如果令y′＝p，则y″＝p′，从而方程化为
p′＝f（x，p）．
这是关于x，p的一阶微分方程，设其通解为
p＝φ（x，C1），
则
积分便得方程（2）的通解
例2 求微分方程y″＝y′的通解．
解 令y′＝p，则y″＝p′，代入方程得
p′＝p，
分离变量，得
因而
即y′＝C1ex，积分得原方程的通解
例3 求微分方程（1＋x2）y″＝2xy′满足初始条件y（0）＝1，y′（0）＝3的特解．
解 所给方程不显含未知函数y，令y′＝p，则y″＝p′，从而方程化为
分离变量，得
两边积分，得
即
p＝y′＝C1（1＋x2）．
由条件y′（0）＝3得C1＝3，所以
y′＝3（1＋x2）．
两边积分，得
y＝x3＋3x＋C2．
又由条件y（0）＝1，得C2＝1，于是所求方程的特解为
y＝x3＋3x＋1．
方程
的右边不显含x．如果令y′＝p，则
从而方程（3）可化为
这是关于y，p的一阶微分方程，设其通解为
则
分离变量并积分，得方程（3）的通解
例4 求微分方程2yy″－y′2－1＝0的通解．
分离变量，得
两边积分，得
再由y′＝p，得
分离变量并两边积分，便得原方程的通解
1．求下列微分方程的通解：
（2）
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
3．设有一质量为m的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R＝c2v2（其中c为常数，v为物体运动的速度），求物体下落的距离s与时间t的函数关系．
下一篇：大陷胸丸方
