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仿射类模型(或指数仿射模型)

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仿射类模型(或指数仿射模型)

    五、仿射类模型(或指数仿射模型)

    Duffie和Kan(1996)证明了Vasicek(1977)、Merton(1973)、CIR(1985)所提出的模型都属于一种称为“仿射类”的普通模型,这类模型的特征是零息债券利率都是短期利率的仿射函数,下面分析仿射类模型的期限结构。

    (一)仿射类模型的一般形式

    设在真实概率条件下,m个状态变量的随机过程为dXt=K(Θ-Xt)dt+Cσ(Xt)dWt,这里σ(Xt)为对角矩阵,其第i个对角元素的值为σii(Xt)=img70,方差矩阵为Cov(dXt)=Cσ2(Xt)C′dt,短期利率为Xt的仿射函数rt=img71,进一步假设风险的市场价格为:

    λ(Xt)=σ(Xt

    由上面的假设,得到以下的偏微分方程:

    img72

    根据第三节的分析,可猜测解的形式为:

    P(τ,X)=exp[A(τ)+B(τ)′x]

    由不同短期利率动态过程,可解出利率期限结构。下面举几个例子。

    (二)仿射类模型的四个例子

    1.高斯中心趋势模型

    该模型主要由Beaglehole和Tenney(1991)、Jegadeesh和Pennacchi(1996)提出,短期利率为两要素的高斯过程

    img73

    其中,k1、k2为均值回复速度,μ为利率均值,θ为μt的均值,σ1、σ2短期利率与其均值的瞬间波动率,风险的市场价格为常数λ1和λ2。W1t、W2t为标准布朗运动。两个布朗运动的相关系数为ρ,高斯中心趋势模型一般化了Vasicek(1977)模型,使其均值为随机变量,同样,应用ITO引理,得偏微分方程为:

    img74

    边界条件为P(T,T)=1。

    解的形式可猜测为:

    P(t,t+τ)=exp[A(τ)+B1(τ)rt+B2(τ)μt]

    由边界条件:P(T,T)=1,A(0)=0,B(0)=0,C(0)= 0得:

    img75

    A(τ)的表达式较长,这里省略。

    2.Fong-Vasicek模型

    Fong和Vasicek(1991)提出Vasicek模型的另一个扩展模型,这里Ornstein-Uklenbeck过程的波动率为随机的:

    img76

    其中,W1t、W2t为标准布朗运动,两个布朗运动之间的相关系数为ρ,Fong和Vasicek(1991)进一步假设风险的市场价格表示为:

    img77

    Fong-Vasicek模型的偏微分方程为:

    img78

    img79

    解的形式猜测为:

    P(t,t+τ)=exp[A(τ)+B1(τ)r+B2(τ)V]

    由边界条件:P(T,T)=1,A(0)=0,B(0)=0,C(0)= 0,得

    img80

    B1(τ)的表达式与Vasicek模型的表达式相同,B2(τ)、A(τ)的表达式可参考Selby和Strickland(1995)的文章。

    3.多因子CIR模型

    无论是高斯中心趋势模型,还是Fong-Vasicek模型,均没有对短期利率的非负性加以约束,为了保证短期利率的非负性,多因子CIR模假设短期利率为满足以下m个因素的CIR模型:

    img81

    第i个因素的风险市场价格为:img82

    在风险中性概率条件下,容易得到债券的价格为:

    img83

    其中,yit表示为img84

    通过整理,债券价格可重新表示为:

    img85

    其中,Pi(t,T)是参数为ki、μi、σi和λi的短期单因子CIR模型。

    4.具有随机风险市场价格的Vasicek模型

    Lund(1999)提出了一个高斯期限结构模型,其中rt为在真实概率下的多变量Ornstein-Uhlenbeck过程,下面应用随机贴现因子方法推导Lund(1999)模型,该模型基于两个独立的Ornstein-Uklenbeck过程:

    img86

    其中,W1t、W2t为两个相互独立的标准布朗运动,λt为风险的随机市场价格,风险中性概率下Xt=(rtt)′的随机动态过程为:

    img87

    债券价格P(t,T)的偏微分方程为:

    img88

    边界条件为P(t,T)=1。

    猜测解的形式为:

     P(t,t+τ)=exp[A(τ)+B(τ)rt+C(τ)λt]解出B(τ)、C(τ)的表达式为:

    img89

    A(τ)的表达式较长,可参考Lund(1999)。

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