第节，高阶线性微分方程

    (1/13) 二阶线性微分方程的定义

    二阶线性微分方程的一般形式为其中都是一次的，否则称为二阶非线性方程，其中均为连续函数。当右端，方程叫做齐次的；当右端不恒等于0，方程叫做非齐次的。

    (2/13) 函数的线性相关与线性独立的定义

    设是定义在区间的两个函数，如果（常数），那么称此两函数在区间线性相关，否则，称此两函数线性独立或线性无关。

    (3/13) 线性微分方程的解的结构

    1）齐次线性方程解的结构 先讨论二阶线性齐次方程定理：如果函数均是方程的解，那么也是该方程的解，其中为任意常数。 定理：如果函数是二阶齐次线性方程的任意两个线性无关的特解，那么就是该方程的通解，其中为任意常数。 推论：如果是阶齐次线性方程的个线性无关的解，那么，此方程的通解为其中为任意常数。 （2）非齐次线性方程解的结构 二阶非齐次线性方程的形式为：定理：设是二阶非齐次线性方程的任一特解，是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那么就是方程的通解。 定理：设有非齐次线性方程.如果分别是方程与方程的解，那么就是原方程的解。

    (4/13) 常系数线性齐次方程

    （1）二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为(ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为(iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为（2）阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性方程的一般形式为， 其中为常数，相应的特征方程为。特征根与通解的关系同二阶方程的情形类似，具体结论如下： (i)若是个相异实根，则原方程的通解为(ii)若为特征方程的重实根，则原方程的通解中含有(iii)若为特征方程的重共轭复根，则原方程的通解中含有

    (5/13) 二阶常系数线性非齐次方程

    二阶常系数线性非齐次方程的一般形式为，其中为实常数。由于非齐次线性方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次线性方程的通解之和。根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式： (1)，为次多项式 特解形式分为三种情况： （i）0不是特征根：（ii）0是特征方程的单根：（iii）0是特征方程的重根：(2)，为次多项式 特解形式分为三种情况： （i）不是特征根：（ii）是特征方程的单根：（iii）是特征方程的重根：(3),为次，次多项式 特解形式分为两种情况： （i）不是特征根：（ii）是特征根：其中次多项式中的。 (4),特解：

    (6/13) 欧拉方程

    形如的方程（其中为常数），叫做欧拉方程。作代换，即可将原方程化为阶常系数线性微分方程。 特别的，对于二阶欧拉方程令即化成了二阶线性常微分方程。

    (7/13) 二阶常系数线性齐次方程

    二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为(ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为(iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为

    (8/13) 二阶线性微分方程的定义

    二阶线性微分方程的一般形式为其中都是一次的，否则称为二阶非线性方程，其中均为连续函数。当右端，方程叫做齐次的；当右端不恒等于0，方程叫做非齐次的。

    (9/13) 函数的线性相关与线性独立的定义

    设是定义在区间的两个函数，如果（常数），那么称此两函数在区间线性相关，否则，称此两函数线性独立或线性无关。

    (10/13) 线性微分方程的解的结构

    1）齐次线性方程解的结构 先讨论二阶线性齐次方程定理：如果函数均是方程的解，那么也是该方程的解，其中为任意常数。 定理：如果函数是二阶齐次线性方程的任意两个线性无关的特解，那么就是该方程的通解，其中为任意常数。 推论：如果是阶齐次线性方程的个线性无关的解，那么，此方程的通解为其中为任意常数。 （2）非齐次线性方程解的结构 二阶非齐次线性方程的形式为：定理：设是二阶非齐次线性方程的任一特解，是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那么就是方程的通解。 定理：设有非齐次线性方程.如果分别是方程与方程的解，那么就是原方程的解。

    (11/13) 常系数线性齐次方程

    （1）二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为(ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为(iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为（2）阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性方程的一般形式为， 其中为常数，相应的特征方程为。特征根与通解的关系同二阶方程的情形类似，具体结论如下： (i)若是个相异实根，则原方程的通解为(ii)若为特征方程的重实根，则原方程的通解中含有(iii)若为特征方程的重共轭复根，则原方程的通解中含有

    (12/13) 常系数线性齐次方程

    （1）二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为(ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为(iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为（2）阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性方程的一般形式为， 其中为常数，相应的特征方程为。特征根与通解的关系同二阶方程的情形类似，具体结论如下： (i)若是个相异实根，则原方程的通解为(ii)若为特征方程的重实根，则原方程的通解中含有(iii)若为特征方程的重共轭复根，则原方程的通解中含有

    (13/13) 二阶常系数线性非齐次方程

    二阶齐次线性方程的一般形式为，其中为实常数。由于非齐次线性方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次线性方程的通解之和。根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式： (1)，为n次多项式 特解形式分为三种情况： （i）0不是特征根：（ii）0是特征方程的单根：（iii）0是特征方程的重根：(2)，为n次多项式 特解形式分为三种情况： （i）不是特征根：（ii）是特征方程的单根：（iii）是特征方程的重根：(3),为n次，m次多项式 特解形式分为二种情况： （i）不是特征根：（ii）是特征根：其中次多项式中。 (4), 特解：例5 求下列微分方程 （1）（2）解：（1）（2）

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