转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。刚体相对于某转轴的转动惯量，是组成刚体各质元的质量与其各自到该转轴距离平方的乘积之和。
刚体的转动惯量与以下因素有关。
（1）刚体的质量。各种形状刚体的转动惯量都与它自身的质量成正比。
（2）转轴的位置。并排的两个刚体的大小、形状和质量都相同，但转轴的位置不同，转动惯量也不同。
（3）质量的分布。质量一定、密度相同的刚体，质量分布不同（即刚体的形状不同）转动惯量也不同。
如果刚体形状简单且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。对于形状复杂、质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等。
转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系进行转换测量。本实验使物体做扭转摆动，由摆动周期以及其他参数的测定计算出物体的转动惯量。
在国际单位制中，转动惯量的单位是kg·m2。
【实验目的】
（1）测定弹簧的扭转常数。
（2）用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较。
（3）验证转动惯量平行轴定理。
图3-14 扭摆的构造
【实验原理】
扭摆的构造如图3-14所示，在垂直转轴上装有一根薄片状的螺旋弹簧，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩，水平仪是用来调整系统平衡的。
将物体在水平面内转过一定角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴做往返扭转运动。根据胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即
上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比且方向相反。此方程的解为
此简谐振动的周期为
由式（3-8）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I和K中任何一个量已知时即可计算出另一个量。由式（3-8）可得出
或
由式（3-8）和式（3-9）可推导出弹簧的扭转常数，即
本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据其质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再计算出本仪器弹簧的扭转常数K值。若要测定其他形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由式（3-8）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。
平行轴定理：若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为I0时，当转轴平行移动距离为时，则此物体对新轴线的转动惯量变为I0+mx2。本实验通过移动细杆上滑块的位置，来改变滑块和转轴之间的距离。
【实验仪器】
扭摆、转动惯量实验仪、金属载物盘、塑料圆柱体、金属圆筒、木球、金属细长杆（两个滑块可在上面自由移动）、数字式电子秤、金属滑块、游标卡尺、钢尺、高度尺。
【仪器介绍】
转动惯量实验仪由主机和光电传感器两部分组成。
主机是TH-2型智能转动惯量实验仪，采用新型的单片机作控制系统，广泛应用于高校物理实验室测量物体转动和摆动的周期以及旋转体的转速。能自动记录、存储、处理多组实验数据，并能精确计算出多组实验数据的平均值，如图3-15所示。
光电传感器主要由红外发射管和红外接收管组成，将光信号转换为脉冲电信号，送入主机工作。因人眼无法直接观察仪器工作是否正常，但可用遮光物体往返遮挡光电探头发射光束通路，检查计时器是否开始计数和到预订周期数时是否停止计数。为防止过强光线对光探头的影响，光探头不能放置在强光下，实验时采用窗帘遮光，确保计时的准确。
使用时，调节光电传感器在固定支架上的高度，使挡光杆自由往返通过光电门，操作时开启电源、复位、执行，挡光杆自由往返通过光电门，转动惯量实验仪自动计数并自动停止，结果显示后再“执行”，多次测量最后求平均值。
图3-15 转动惯量实验仪
（1）开机。显示如图3-15所示，若异常，可按“复位”键，即可正常（默认状态为摆动）显示。
（2）按“功能”键。可选择摆动和转动（开机和复位默认状态为摆动）。
（3）按“置数”键。显示10N=，按“上调”键，周期数依次加1，按“下调”键，周期数依次减1，周期数可在1～20间任意设定，再按“置数”键确认。显示“F1 end”或“F2 end”，预设后仅当再次置数或复位，其余操作均不改变预置周期数。
（4）按“执行”键。显示“P1 000.0”，当被测物体上挡光杆第一次通过光电门时开始计时，计时灯亮，直到周期数等于设定值时，停止计时，计时灯灭，显示第一次测量总时间。重复上述步骤，可进行最多5次测量（P1、P2、P3、P4、P5）。“执行”键还具有修改功能。如要修改第三组数据，按“执行”键直至显示P3xxx.x后，重新测量第三组数据。
（5）按“查询”键可知每次测量周期（C1～C5），以及多次测量的周期的平均值CA，及当前的周期数n，如显示“NO”表示无数据。
C10.767
C20.765
CA0.766
（6）按“自检”键。仪器自动依次显示：n=N-1→2n=N -1→SC→Good 自动复位P1。
（7）按“返回”键。系统无条件回到最初状态，清除所有执行数据。
【实验内容】
（1）调整扭摆机座地脚螺栓，使水平仪的气泡居中。
（2）测量弹簧的扭转系数K。
①测量空金属载物盘的摆动周期T0。在扭摆仪的转轴上装上载物盘（其转动惯量实验值为I0），拧紧螺帽，调整光电探头的位置，使载物盘上的挡光杆位于其缺口的中央，且能遮住发射、接收红外线的小孔，注意挡光杆不要碰到光电门。用手使载物盘离开平衡位置约90°，按测试仪上的“执行”按钮，然后放开挡光杆，开始计时，重复3次，并记录每次的摆动周期，计算T0。
（3）测量其他物体的转动惯量。
将待测物体放在金属载物盘上并固定，测定摆动时间，重复3次并记录。计算摆动周期T2。
（4）测量金属细杆的转动惯量。
取下载物盘，用夹具固定金属细杆，拧紧底座上的螺帽，令金属细杆的中心与转轴重合，并拧紧夹具上的螺钉。测定摆动时间，重复3次并记录。计算摆动周期T3。
（5）验证转动惯量平行轴定理。把两个圆柱形金属滑块对称地固定在金属细杆两侧的凹槽上，滑块的质心离转轴距离分别为5.0 cm、10.0 cm、15.0 cm、20.0 cm，测定摆动时间，重复3次并记录。计算摆动周期T。
（6）用游标卡尺分别测量被测物体的尺寸（内径、外径、长度、高度或直径），各测量3次并记录；用电子天平测量被测物体的质量，测量3次并记录。
【注意事项】
（1）弹簧扭转常数与摆动角度有关，使摆角固定在90°左右。
（2）光电探头宜放在挡光杆平衡处，但切忌与杆发生摩擦。
（3）机座应保持水平状态。
（4）安装待测物时，应将止动螺钉旋进。
（5）称金属细杆与木球质量时，必须取下支架。
（6）验证平行轴定理用到的转动惯量的理论值为
空心滑块绕通过质心且与轴线垂直的轴的转动惯量为
【原始数据记录表】
（1）计算各种物体的转动惯量，并与理论值进行比较，求出相对误差，将数据记入表3-13中。
表3-13 数据记录表
续表
（2）验证平行轴定理，将测量数据记入表3-14和表3-15中。
表3-14 数据记录表
表3-15 数据记录表
【数据处理】
（1）计算弹簧的扭转系数K。
（2）计算被测物体的质量、摆动周期及尺寸，多次测量取平均值。
（3）分别计算被测物体的转动惯量，并与理论值相比较，计算相对误差。
（4）验证平行轴定理（列出测量结果、理论值和相对误差）。
【思考题】
（1）数字计时仪的仪器误差为0.01s，实验中周期数n取多少较为合适？
（2）如何用刚体实验装置测定任意形状物体绕特定轴的转动惯量？
（3）在计算金属细杆转动惯量的实验值时，为什么应扣除支架的转动惯量？
（4）验证平行轴定理时，本实验是验证滑块的还是金属细杆的？为什么？
（5）写出计算金属载物盘、金属圆筒物体转动惯量实验值与理论值的详细求解过程，扭摆弹簧的扭摆常数的详细求解过程。
