数学中化归思想是转化的思想吗

    第一节　数学思想方法概述

    一、概念界定

    “数学思想方法”一词无论在数学、数学教育范围内，还是在其他科学中，均已被广泛应用。“数学思想方法”究竟是什么？却不像数学中的概念那样可以明确地给出定义。为了更好地理解数学思想方法的本质内涵，我们有必要先对数学思想和数学方法以及二者的关系加以界定。

    （一）数学思想的含义

    哲学上的思想有两种含义，一是与观念同义，二是指相对于感性认识的理性认识结果。思想可以表现为通过概念的联系、概括地说明现象的本质和规律的理论原理，也可以表现为观点的综合的理论体系。^[1]至于什么是“数学思想”，研究者各持己见。有人认为数学思想是数学历史长河中各阶段相对真理性认识的总和，是人类对数学及其对象、数学概念、命题和数学结论以及数学方法的本质性认识；也有人认为数学思想是人们对数学研究对象统一的、本质的认识，它包括对数学本质的理解，对数学基本特性、数学对象、数学与其他科学、数学与客观世界的关系的认识，以及在数学中所创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识；还有人认为数学思想是指数学观念，认为数学观念是指人们用数学的思考方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯，数学思想是以数学观念为核心的对数学关系中最一般规律的认识。

    钱佩玲教授指出：所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。例如：模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想等。^[2]

    比较以上几种观点，它们的共性是：数学思想首先是一种理性认识，是一种“隐性”的知识，它蕴涵在数学概念、原理、数学方法等理性认识中，是对数学知识的进一步提炼、概括而形成的。因此，数学思想是对数学概念、数学方法、数学原理等“显性”知识的本质认识。基于以上认识，数学思想的含义可做进一步简明的概括：数学思想是人们在数学活动中，用于解决问题的基本观点和根本想法，是数学活动的指导思想，是对数学概念、命题、法则以及数学方法的本质性认识，是一种理性的、内隐的、动态的知识。

    （二）数学方法的含义

    张奠宙教授在他的著作《数学方法论稿》里写道：方法，是一种元概念，没法精确定义，《辞海》中未收录“方法”词条。它和“物质”、“运动”、“集合”等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。例如，可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。这里的“方式”、“手段”、“途径”等等，就都和“方法”大体上是“同义词”，并非“属”和“种属”式的严格定义。他又指出：方法是相对于某一目的而言。其次，方法是人的一种活动，人在活动中，为达到某一目的，可以主观能动地选择、组合和创造各种手段和各种方式加以实行，这便是方法的真实含义了。^[3]数学方法是用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。徐利治教授则把数学方法论划分为宏观的数学方法论和微观的数学方法论两个层面。数学发展规律的研究，如果撇开数学的内在因素不提，那是属于宏观的数学方法论范畴，属于研究工作者个人必须遵循的方法与法则的研究，可以称之为微观的数学方法论。^[4]

    综上所述，方法一般可以理解成人们处理数学的策略、途径和程序。这里所指的数学方法是指徐利治教授的微观方法论中的方法，即属于研究工作者个人必须遵循的方法与法则。

    （三）数学思想与数学方法的关系

    数学思想与数学方法既有区别也有联系，其区别表现在数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识，是数学方法的理论基础和内在精神实质，具有概括性和普遍性，而数学方法是以数学事实与理论为工具进行探究的手段，这些手段与人们的数学知识、经验以及数学思想掌握情况密切相关，是数学思想的外在表现形式，具有可操作性和具体性。二者之间互为表里、密切联系。数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是方法的进一步概括和升华。其联系表现在数学思想和数学方法都是思维活动的载体，运用数学方法解决问题的过程，就是感性不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想。一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。数学思想都是通过某种方法来体现，而任何一种数学方法都反映了一定的数学思想。当人们遇到数学问题时，首先产生解决它的数学思想，但只有数学思想还不能解决问题，还需要将数学思想具体化为具有操作性的数学方法。也就是说，在解决数学问题时，数学思想和数学方法往往是几乎同时出现的。

    张奠宙教授指出：同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为方法；当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，就称之为思想。比如，“极限”，用它去求导数、求积分、解方程时，人们就说是极限方法；当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了。为了将这两重意思合在一起说，于是就有了“极限思想方法”、“数学思想方法”之类的说法。他又指出：《古今数学思想》其实说的都是“古今数学方法”，只不过从数学史角度看，人们更多注意那些数学大家们的思想贡献、文化价值，较少从“方法”的有用去考虑，因而才称之为数学思想。也就是说，当某一数学思想可对某些数学对象具体操作的时候，就成为“数学方法”。因此，数学思想和数学方法，没有具体的严格区分，人们往往将其统称为“数学思想方法”。本书也不加区分，把数学思想和数学方法统称为“数学思想方法”。

    二、数学思想方法的划分

    有人把数学思想方法划分为三个层次：一为核心数学思想方法（序化思想），二为一般数学思想方法（公理思想、转化思想、符号思想），三为具体数学思想方法。

    还有人把数学思想方法分为三种类型：宏观思想方法，包括抽象概括、化归、数学模型、归纳猜想等，其中抽象概括、数学模型、归纳猜想方法常常与数学知识的发生、发展过程紧密联系，是将现实世界进行数学化的重要方法；第二类是逻辑型思想方法，包括分类、完全归纳法、反证法、演绎法、特殊化方法等，这类方法都具有确定的逻辑结构。例如，演绎法，其主要形式是三段论，具有精确的逻辑表达结构；第三类是技巧型思想方法，包括换元、配方、待定系数等方法。这类方法常常用于具体解题，只有一定的操作步骤。

    侯敏义在《数学思维与数学方法论》中从广义和狭义来理解数学思想方法。狭义的理解认为，数学思想方法主要指数学本身的论证、运算以及应用的思想方法和手段；广义的理解认为，数学思想方法除上述作为研究对象外，还应包括关于数学（其中包括概念、理论、方法以及形态等）的对象、性质、特征、作用及其产生、发展规律的认知。

    欧阳维诚等编著的《初等数学思想方法选讲》中，把数学思想方法分为三类或三个层次：第一是对数学本质的认识方面的思想方法，回答“数学是什么”的问题；第二是数学的地位、作用、研究和发展方面的思想方法，回答“数学向何处去”的问题；第三是解决具体数学问题的思想方法，也就是数学解题思想方法，它回答“数学怎样论证”的问题。按照徐利治教授的“宏观数学方法论”与“微观数学方法论”的划分，第一、二类数学思想方法属于宏观数学方法论，宏观数学方法论是关于数学发展规律的研究；第三类数学思想方法属于微观数学方法论，微观数学方法论是关于数学中的发现、发明与创新等法则的研究。优化思想、随机思想、划分思想、集合思想、映射思想、函数思想、方程思想、逼近思想、递归思想等都属于微观数学思想方法。

    张奠宙在《数学方法论稿》中将数学思想方法分为四个层次：第一，基本的和重大的数学思想方法；第二，与一般科学方法相应的数学思想方法；第三，数学中特有的思想方法；第四，数学中的解题技巧。

    曹才翰、章建跃在《数学教育心理学》中将数学思想方法分为四个层次：第一层次是与某些特殊问题联系在一起的方法，我们可以将它称为“解题术”。第二层次是解决一类问题时可以采用的共同方法，我们将其称为“解题通法”。第三层次是数学思想，这是人类对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识。第四层次是数学观念，这是数学思想方法的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。关于数学思想方法的划分，不同的研究者有不同的看法。还有人从数学知识分类、数学认知结构、知识迁移的角度来理解数学思想方法。这些对于我们更加全面、深刻地认识和理解数学思想方法都是大有帮助的。