曲线的凹凸性与函数图形的描绘

    图3.10

    从图3.11可以看出，如果曲线y＝f（x）是凹（凸）的，则其上各点处的切线斜率随x的增加而增加（减少），所以f′（x）是x的单调增加（单调减少）函数．如果f（x）二阶可导，那么用二阶导数的符号就能确定一阶导数的单调性，从而有以下定理：

    图3.11

    定理1　设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内具有二阶导数．

    （1）如果在（a，b）内f″（x）＞0，则曲线y＝f（x）在［a，b］上是凹的；

    （2）如果在（a，b）内f″（x）＜0，则曲线y＝f（x）在［a，b］上是凸的．

    例1　讨论曲线y＝x3的凹凸性．

    解　函数y＝x3的定义域为（－∞，＋∞）．

    y′＝3x2，y″＝6x．

    当x＜0时，y″＜0，所以曲线在（－∞，0］上是凸的；当x＞0时，y″＞0，所以曲线在［0，＋∞）上是凹的．

    

    当x＝0时，y′，y″都不存在．

    当x＜0时，y″＞0，所以曲线在（－∞，0］上是凹的；当x＞0时，y″＜0，所以曲线在［0，＋∞）上是凸的．

    定义2　如果连续曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））两侧的凹凸性不同，则称点（x0，f（x0））为曲线的拐点．

    由定理1可知，在拐点的两侧f″（x）必然异号．故而在拐点处f″（x）＝0或f″（x）不存在．

    例3　求曲线y＝ln（1＋x2）的凹凸区间及拐点．

    解　函数y＝ln（1＋x2）的定义域为（－∞，＋∞）．

    令y″＝0，解得x1＝－1，x2＝1．

    x1＝－1，x2＝1把函数的定义域（－∞，＋∞）分成三个部分区间：

    （－∞，－1］，［－1，1］，［1，＋∞）．

    在（－∞，－1）内，y″＜0；在（－1，1）内，y″＞0；在（1，＋∞）内，y″＜0．因此曲线的凹区间为［－1，1］；曲线的凸区间为（－∞，－1］，［1，＋∞）．

    当x＝－1时，y＝ln2，点（－1，ln2）是这曲线的一个拐点；当x＝1时，y＝ln2，点（1，ln2）也是这曲线的拐点．

    定义3　当曲线C上的动点P沿着曲线C无限延伸时，如果动点P到某直线l的距离趋近于0，则称直线l为曲线C的渐近线，如图3.12所示．

    图3.12

    曲线的渐近线有两种：垂直渐近线和斜渐近线（包括水平渐近线）．

    所以，直线x＝0与x＝－1都是曲线的垂直渐近线．

    如图3.12所示，设直线y＝ax＋b是曲线y＝f（x）的斜渐近线，下面讨论怎样确定常数a和b．

    由点到直线的距离公式，曲线y＝f（x）上点（x，f（x））到直线y＝ax＋b的距离

    因为直线y＝ax＋b是曲线y＝f（x）的斜渐近线，故

    函数图形是函数的直观表示．借助于函数图形可以直观地反映函数的变化规律和性状，有助于对函数进行深入研究．

    利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：

    （1）确定函数y＝f（x）的定义域，考察函数有无奇偶性与周期性．

    （2）求f′（x）和f″（x）．

    （3）求出f′（x），f″（x）在定义域的全部零点，并求出f（x）的间断点以及f′（x），f″（x）不存在的点．用这些点将函数的定义域划分为若干个部分区间．

    （4）确定在这些部分区间内f′（x）和f″（x）的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点，以及函数的极值点．

    （5）确定函数图形的渐近线．

    （6）算出第（3）步所得各分点处的函数值，确定出图形上的相应点．为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点．然后结合第（4）和第（5）步中的结果，连接这些点画出函数y＝f（x）的图形．

    解　（1）所给函数的定义域为（－∞，＋∞），由于

    所以函数f（x）是偶函数，它的图形关于y轴对称．因此可以只讨论［0，＋∞）上该函数的图形．

    （2）求导：

    （3）在［0，＋∞）上，方程f′（x）＝0的根为x＝0；方程f″（x）＝0的根为x＝1．用点x＝1把［0，＋∞）划分成两个区间：［0，1］，［1，＋∞）．

    （4）对单调性、凹凸性、极值和拐点列表讨论．

    （5）由于，所以图形有一条水平渐近线y＝0．

    （6）计算x＝0，1处的函数值：

    图3.13

    解　（1）所给函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）．

    （2）求导：

    （3）令y′＝0得x1＝－1，x2＝3．这两个点把定义域划分为

    （－∞，－1］，［－1，1），（1，3］，［3，＋∞）．

    （4）对单调性、凹凸性、极值和拐点列表讨论．

    （5）由例3知有垂直渐近线x＝1及斜渐近线

    （6）根据上述讨论，连接相关点可描绘出函数的图形，如图3.14所示．

    图3.14

    1．求下列曲线的凹凸区间和拐点：

    （1）y＝3x－2x2；

    （3）y＝x3－6x2＋3x；

    （4）y＝xe－x；

    （5）y＝（x＋1）4＋ex；

    2．已知曲线y＝x3＋ax2－9x＋4x在x＝1处有拐点，试确定系数a，并求曲线的拐点和凹凸区间．

    3．问a，b为何值时，点（1，3）为曲线y＝ax3＋bx2的拐点？

    4．求下列曲线的渐近线：

    5．描绘下列函数的图形：

    （1）y＝2x3－3x2；

    （2）y＝x4－6x2＋8x；

    （4）