基本立体的投影

由 范文之家 分享时间：2023-04-24 20:35:04 加入收藏我要投稿点赞

基本立体的投影

3．1　基本立体的投影

基本立体可分为平面立体和曲面立体。表面由平面组成的基本立体称为平面立体，常见的有棱柱、棱锥等，如图3－1所示。表面均由曲面或由曲面和平面组成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体是回转体，包括圆柱、圆锥、球、圆环等，如图3－2所示。

图3－1　平面立体

图3－2　曲面立体

3．1．1　平面立体的投影及其表面取点

平面立体表面由若干多边形组成，绘制平面立体的投影图就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判断其可见性，把看得见的棱线投影画成粗实线，看不见的棱线投影画成虚线。

1．棱柱

1）棱柱的投影

如图3－3a所示正六棱柱由六个相同的矩形棱面和上下底面（正六边形）所围成。上下底面与H面平行，为水平面，其水平投影反映实形；另外两面投影为直线。正六棱柱的六个棱面中，前后两个面是正平面，正面投影反映实形；其余四个棱面均为铅垂面。

作图时，可先画正六棱柱的水平投影正六边形，再根据投影规律和棱柱高度作出其他两个面的投影。作图过程如图3－4所示。

棱柱的投影特性是：与棱线垂直的投影面上的投影为一多边形，反映棱柱底面的实形；另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它们反映棱面的实形或类似形，如图3－3b所示。

图3－3　正六棱柱的投影及表面取点

2）在棱柱表面上取点

在棱柱表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同。

作图的一般步骤是：首先根据点的已知投影的位置和可见性确定点所在的平面，并分析该平面的投影特性，然后根据投影规律作出所求投影，最后判断所求投影的可见性。正棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此，在其表面上取点，可利用棱面具有积聚性投影这一性质来作图。

如图3－3b所示，已知棱柱表面上点M、N的一面投影m′、n，求它们的另外两面投影m和m″，n′和n″。

因为m′可见，所以点M在左前棱面上，该棱面的水平投影积聚为一直线段，因此，M一定在此线段上。由m′和m即可求得侧面投影m″，因左前棱面的侧面投影可见，所以m″也可见。

因为n可见，因此点N必定在六棱柱顶面，n′和n″分别在顶面的积聚直线上。

图3－4　正六棱柱的画图方法和步骤

2．棱锥

1）投影分析和画法

图3－5a所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为△ABC，处于水平位置。三个棱面为全等的等腰三角形，其中棱面△SAB、△SAC是一般位置平面，它们的各面投影均为类似形；棱面△SBC为侧垂面。底边AB、AC为水平线，BC为侧垂线；棱线SA为侧平线，SB、SC为一般位置直线。

作图时，先画出底面△ABC的各面投影，再作出锥顶S的各面投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。

棱锥的投影特性是：在与棱锥底面平行的投影面上的投影为多边形，且反映棱锥底面的实形，棱锥棱面的投影均为三角形；其余两面投影为一个或几个三角形线框，其中棱锥底面的投影为一条直线，棱面的投影或积聚为直线，或是其类似形，如图3－5b所示。

2）棱锥表面取点

组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位置的平面。凡属特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影的积聚性直接求得，如在图3－5中，已知侧垂面△SBC上点N的水平投影n，可利用平面投影的积聚性直接找到点n″。

对于一般位置表面上的点，可通过在该面作辅助线的方法求得。如在图3－5中，已知立体表面上点M的正面投影m′，求其他两面投影。因点m′可见，因此点M必在△SAB上，△SAB为一般位置平面，所以可利用辅助线法来作图。

图3－5　正三棱锥的投影及表面取点

方法一：过锥顶S和点M作一辅助线并延长交于底边AB于点Ⅱ，作出直线SⅡ的水平投影，根据点的从属关系，求出点M的水平投影m，再根据m、m′求出m″。

方法二：过点M在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即作1′m′∥a′b′，求点Ⅰ的水平投影1，过1作1m∥ab，求出m，再根据m、m′求出m″。

3．1．2　曲面立体的投影及其表面取点

曲面立体是由回转面或回转面和平面围成。回转面是由母线绕某一轴线旋转而形成的。母线在回转面上的任一位置称为素线。对于某投影面，回转面可见部分与不可见部分的分界线称为转向轮廓线。在作某回转面的投影时，不必将其所有素线绘出，只需绘出其转向轮廓线的投影即可。母线上任一点的运动轨迹皆为垂直于回转轴线的圆，这些圆称为纬圆。

1．圆柱

1）圆柱的形成

圆柱体表面是由圆柱面和上、下两圆平面所组成。如图3－6a所示。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平行的轴线OO₁旋转而成。直线AA1称为母线，圆柱面上任意一条平行于轴线OO₁的直线，称为圆柱面的素线。

2）投影分析

如图3－6b所示，该圆柱的轴线垂直H面，圆柱面水平投影积聚为圆，圆柱上、下底面的投影为该圆平面；圆柱的V面投影和W面投影是由上下底面投影积聚线和圆柱面的转向轮廓线组成的两个完全相等的矩形线框。

3）画法

首先画出轴线的投影以及圆的对称中心线，其次画出投影为圆的视图，最后画其余两个投影为矩形的视图。注意：绘制回转体投影时，必须画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5mm，如图3－6c所示。

4）圆柱表面上取点

轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在轴线垂直的投影面上的投影有积聚性，其底面在另两投影面的投影有积聚性。因此，在圆柱表面上取点，可用积聚性法作图。

如图3－6c所示，已知圆柱面上一点M的正面投影m′，求作它的水平投影m和侧面投影m″。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，因此m应在圆柱面水平投影积聚圆的圆周上，再根据m′、m即可求得m″，并判断可见性。

图3－6　圆柱的投影及表面取点

2．圆锥

1）圆锥的形成

圆锥由圆锥面和底平面组成。圆锥面可以看成是直线SA绕与其相交的轴线SO旋转而成。直线SA称为母线，圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。

2）投影分析

由图3－7b可知，底平面平行于H面的圆锥的正面投影和侧面投影是相同的等腰三角形，水平投影为圆。因为圆锥面上所有素线都倾斜于水平面，故没有积聚性。在正面投影和侧面投影中，等腰三角形的底边是圆锥底面的投影，两腰是转向轮廓线的投影。正面投影的转向轮廓线是最左和最右两条素线SA和SB，侧面投影的转向轮廓线是最前和最后两条素线SC和SD，它们在其余两投影面上的位置与轴线或圆的对称中心线重合。

3）画法

一般先画出轴线和对称中心线的投影，然后画出圆锥投影为圆的投影，再根据投影关系画出圆锥的另两个投影，如图3－7c所示。

4）圆锥表面上取点

轴线处于特殊位置的圆锥，只有底面的投影有积聚性，而圆锥面的三个投影都没有积聚性。因此，在圆锥表面上取点，除圆锥面转向轮廓线上的点和底圆平面上的点可直接求出之外，其余的点，则必须用辅助线法（亦称素线法）或辅助圆法（亦称纬圆法）作出，并表明可见性。

如图3－8所示，已知圆锥面上一点M的正面投影m′，求作它的水平投影m和侧面投影m″，可用两种方法求解。

（1）辅助线法。如图3－8b所示，过锥顶S和锥面上点M作一素线SⅠ并作出其正面投影s′1′和水平投影s1，就可求出点M的水平投影m，然后由m和m′求得m″。

（2）辅助圆法。如图3－8c所示，在圆锥面上过点M作垂直于轴线的纬圆（作辅助平面），求出纬圆的水平投影，点M的水平投影m就在圆上，然后由m和m′求得m″。

图3－7　圆锥的投影

图3－8　圆锥表面上取点

3．球

1）球的形成

如图3－9所示，球面可以看成是由一母线圆绕其直径旋转而成的。

2）投影分析

球的三面投影均为与球直径相等的圆，它们分别是球的三个投影的转向轮廓线。正面投影圆是前半球和后半球分界圆（正面投影的转向轮廓线）的投影；水平投影圆是上半球和下半球分界圆（水平投影的转向轮廓线）的投影；侧面投影圆是左半球和右半球分界圆（侧面投影的转向轮廓线）的投影。这三个圆的其余两投影均与中心线重合，不必画出。

3）画法

画球的三面投影时，可先画出确定球心的相互垂直的回转轴线的三个投影，再以球心为圆心画出三个圆。

4）球表面上取点

由于球的三个投影均无积聚性，所以在球表面上取点，除属于特殊点可直接求出之外，其余处于一般位置的点，都需用辅助圆法作出，并表明可见性。

图3－9　球的投影

如图3－10a所示，已知球表面上一点M的正面投影m′，求其水平投影m和侧面投影m″。根据m′的位置和可见性，可知点M位于前半球的左上部位。为找出点M的水平投影m，可过点M作纬圆（正平圆、水平圆、侧平圆）求解。如过m′作纬圆与球正面投影（圆）交于点1′、2′。以1′2′为直径在水平投影上作水平圆，则点M的水平投影m必在该纬圆上，再由m′和m求出m″，m和m″均为可见。又如，图3－10b所示给出了根据球面上点N和点K的水平投影n和k，求出n′、n″和k′、k″的作图过程。