逐项积分等

§5.5　Fourier级数收敛性、逐项积分等

    函数项级数的一致收敛性在研究和函数的性质时非常有效。如函数的连续性、可导性以及逐项积分、逐项求导等等。对幂级数的一致收敛性，我们已经有了清晰的了解。本节将要介绍Fourier级数的相应知识点尤其将着重关注一致收敛性、逐项积分等，并给出Fourier级数的一些重要应用。

    一、Fourier级数基本概念暨点态收敛性等

    1．Fourier系数

    设f（x）是［－π，π］上按段连续的函数，其Fourier系数是

    则f（x）导出的Fourier级数为

    2．正弦（余弦）级数

    当f（x）是［－π，π］上偶函数时，b_n＝0，得余弦级数；

    当f（x）是［－π，π］上奇函数时，a_n＝0，得正弦级数。

    3．正弦（余弦）展开

    当f（x）是定义于［0，π］上的函数，则可分别作奇延拓或偶延拓，将f（x）展开成正弦级数或余弦级数，如欲展成余弦级数，可先作偶延拓再作周期延拓，利用下面公式

    即可。

    4．Fourier级数之收敛性。

    定理1　如果f（x）是在［－π，π］上按段光滑的以2π为周期的周期函数，则从f（x）导出的Fourier级数处处收敛，且

    特别，在f的连续点处则收敛于f（x）本身（回归）。

    5．Parseval等式

    定理2　若周期2π的函数f满足上述收敛性定理的条件，则有

    （5）式称为Parseval等式，也称为封闭性公式。其实它从本质上反映的是正交三角函数系1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…的完备性。

    读者不妨在f的Fourier级数一致收敛或者f处处连续的条件下证明（5）式。

    注　若f仅仅可积的条件，则成立如下的Bessel不等式

    Bessel不等式的证明只需从下式出发并利用三角函数系的正交性

    由此可以看出，可积函数f的Fourier系数a_n→0，b_n→0（n→＋∞）。

    二、Fourier级数的一致收敛性

    依据函数项级数一致收敛性的Weierstrass判别法，易得如下两个有关Fourier级数一致收敛性的判别法则。

    命题1　若f的Fourier系数满足∑（｜a_n｜＋｜b_n｜）<＋∞，则f的Fourier级数在R上一致收敛。

    命题2　若f以2π为周期且二阶连续可导，则f的Fourier级数一致收敛。

    证　以a_n，b_n；a′_n，b′_n；a″_n，b″_n分别代表函数f，f′，f″的傅立叶系数，则有（见本节习题10）：

    因为　∑［（a″_n）²＋（b″_n）²］<＋∞

    所以　｛a″_n｝，｛b″_n｝必有界

    从而∑（｜a_n｜＋｜b_n｜）<＋∞

    证得f的Fourier级数一致收敛。

    上述两个结论的不足之处在于条件偏强，适用面狭窄，而且命题1必须先求出f的Fourier系数。我们当然希望寻求更为一般的一致收敛性判据。

    欲　f的Fourier级数一致收敛，和函数f的连续性是必要的。

    又对于点态收敛而言，按段光滑又是“少不了的”，我们自然关注这种按段光滑的连续函数其Fourier级数是否一致收敛。

    定理3　以2π为周期的，按段光滑的连续函数f（x）的Fourier级数，在R上一致收敛于f。

    　　　所以∑（｜a_n｜＋｜b_n｜）<＋∞

    从而　f的Fourier级数一致收敛。

    三、Fourier级数的逐项可积性

    Fourier级数作为函数项级数的特殊情形，当一致收敛时，自然逐项可积分，但是对Fourier级数却有如下的结果：

    定理4　设f（x）是按段连续的以2π为周期的函数。

    则对任意的a和x，都有

    分析　（7）式即为

    不妨设a＝0，上式又简化为

    但右边函数并不是周期的。

    则上式就成了

    此为F（x）的Fourier级数展开式。

    则F（π）＝F（－π），且F（x）就是2π的周期函数。

    因为f按段连续，即在（－π，π）上除去有限个点外，F′（x）＝f（x）。于是F（x）是2π为周期的、按段光滑的连续函数。

    在（5）中，令x＝0，F（0）＝0代入：

    最终得

    例1　利用f（x）＝x（－π<x<π）的Fourier级数展开式求g（x）＝x²（－π≤x≤π）的Fourier级数展开式。

    两边求积分：

    注　定理4的条件可以放宽为只要f可积即行，即凡是Fourier级数都是逐项可积分的。

    四、Fourier级数的逐项可导性

    定理5　设f是以2π周期的可导函数，并且导函数f′按段光滑

    则∀x∈R，有（9）

    即f′的Fourier级数展开可由f的Fourier级数逐项求导而得。

    证明　从f和f′的Fourier系数的关系，可得

    利用Fourier级数的收敛性定理，立知（9）式成立。

    分析　左右两边都是偶函数，故只要证明0≤x≤π时成立。

    两边逐项积分之：

    证三　先考虑函数x²在两个不同区间上的Fourier级数展开：

    限定在0<x<π上时，上述两式的右边相等。

    进一步地将上述级数再逐项积分，得

    利用正弦级数的奇性，可得在［－π，π］上

    注　解法二、解法三采用的都是逐项积分，关键是对Fourier级数进行逐项积分，看不清时，不妨作形式的导级数。只要导级数收敛，则原Fourier级数一定可以逐项求导数。和一般函数项级数的逐项可导相比，少了“导级数要一致收敛”条件。对于这样有个性的知识点，读者要特别关注。

    五、Parseval等式在级数求和中的应用

    在［0，x］上继续积分：

    再积分：

    令x＝π，代入得

    六、Fourier级数的综合应用举例

    最后，我们举两个例子说明Fourier级数的其他一些应用。

    先介绍函数cosax（｜x｜≤π，0<a<1）的Fourier级数展开式：

    具体推导请读者完成。

    例4　设0<a<1，求证：

    证明　（1）在cosax的Fourier级数展开式中令x＝0即得。

    由Weierstrass判别法，上式右端级数在0≤x≤π上一致收敛，故在［0，π］上可以逐项积分

    证明　先将｜sinnx｜展开为Fourier级数。

    且级数一致收敛。

    因f（x）有界，从而上述级数仍一致收敛，可逐项积分：

    在（*）中令n→∞，并利用Riemann引理，知

    习题5.5

    　注　上述和式还可以从函数

    　的Fourier级数展开式出发去求和。

    4．求证：

    5．设0<a<1，证明

    7．分别通过构建幂级数和傅立叶级数的方法求和：

    8．设f（x）在［－π，π］上可积，试确定三角多项式

    9．设f（x）在任何有限区间［0，a］上可积，在［0，＋∞）上绝对可积，则

    10．设f为［－π，π］上光滑函数，且f（－π）＝f（π）。a_n、b_n为f的傅立叶系数，a′_n、b′_n为f的导函数f′的傅立叶系数。证明：a′₀＝0，a′_n＝nb_n，b′_n＝－na_n（n＝1，2，…）。