人的思维能够超越宇宙的大小，这并不奇怪。事实上，人的思维还能超越宇宙的维度。借助类比的思想，我们可以在大脑中勾勒出一幅四维世界的景象。
生活在三维世界的我们，确实很难理解四维空间。正如我们很难告诉二维世界的人，三维空间是什么样子的。
现在，假设我是一个二维世界的人，我不能理解什么是“高度”，什么是“体”，什么是“空间”。你想向我描述三维世界中的立方体。你该怎么说呢？你或许会从立方体的展开图开始谈起：图1就是一个立方体的展开图，如果我们剪一个这种形状的纸板，就可以把它折成一个正方体。我不理解了。
图1
你说说该怎么做呢？
先把上面几个正方形折起来，把对应的边粘在一起……
等会儿呢等会儿呢，这几个正方形是稳定的形状呀，它们的边怎么可能挨到一起呢？
傻了吧！在二维世界中它们不是活动的，但是它们可以向第三维度弯折啊！画个图 2给你看吧，这就是把上面那几个正方形粘合起来的样子，这就成了一个没有封顶、还差一面的正方体……
图2
你耍赖！你这样弯折了之后正方形就不是正方形了，都变成梯形了！
不对，它们仍然是正方形。图 2的 6块区域其实都是正方形，只是由于透视作用，它们看上去好像变“斜”了。
嗯，好吧，你继续。
现在我们得到的是一个有盖的盒子。上面 5个正方形（其中有 4个由于处于第三维度而变了形）的“内部”已经形成“空间”了，可以往里面放东西了。要想做成一个封闭的正方体，只需要把剩下的那个正方形合上去就行了，最终结果就像图3那样。
图3
咦？图3里面，刚才最后要合上去的那个正方形到哪儿去了？
它就是最大的那个正方形。
胡说！那个大正方形是5个小正方形拼成的！这个大正方形刚才在图2里也有！
不是的。图2里的大正方形的确是5个小正方形拼成的轮廓，但图3里的那个大正方形是真实存在的，它就是最后合上去的那一块。这个大正方形也并不是和那5 个小正方形重叠在一起，它们在第三维中的层次是不同的。图 3 就是你梦想的那个正方体了，它由 6个正方形组成。你在图 3中看到的一个小正方形，一个大正方形，四个梯形事实上都是正方形，而且它们都一样大。这 6个正方形围成了中间的那个“空间”。
我还是不明白。那个大正方形也是在第三维度的，为什么它没变形呢？
这是因为，这个正方形是正对着我们的，它所在的方向不是第三个维度，因此看上去和原来一样。
那同一个方向上为什么又有一大一小两个正方形呢？
唉，真麻烦。这是因为，它们的朝向虽然一样，但在第三维度上的位置不一样。小的那个正方形在第三个维度离我们远一些，看起来就要小一些。
哦！我有点明白了。是不是说，旁边一圈那4个“正方形”是跨越了第三维的，因此在第三维空间中一部分离我们近，一部分离我们远，于是看上去就是由大到小渐变过去的，就像是变形了。
对！你理解得很好！说真的，平时生活在三维空间中，我都还没仔细想过这一点呢。
我好像真的明白了，说错了不要笑我哦。那个“空间”啊，说穿了就是大正方形擦着4个变形正方形在第三维度上向远处的小正方形移动所产生的“轨迹”。
正是正是！
哎呀我彻底明白了。怪不得我们说n维立方体有2n个顶点呢，其实道理很简单。只需要把n-1维立方体复制一份，然后把对应的顶点相连就可以了。这就是n-1维立方体在第n维发生位移的结果，新增的那2n-1条边就是点的轨迹。
太棒了！就是这样！我还给你看一个好玩的东西，让你看看三维立方体是如何旋转的。如图4所示，睁大眼睛仔细看好每个正方形都变到哪儿去了。
图4
我又糊涂了。为什么从第二幅图变成第三幅图时，远处的小正方形能够穿越左边界，让其中一小半跑到边界左边来？
这个确实不好理解。小正方形并没有“穿过”那条竖直的边，那条边在第三维上离我们更近，而它在我们这个方向上的投影又与小正方形重合了。其实你可以看到，它们之间的拓扑关系仍然是不变的。
哦，于是乎远处的小正方形就转到侧面去了，然后又转到离我们近的位置来了，替代了原先大正方形的位置……
回去没事多想想吧。期待你睡觉时能够做出一个三维的梦。
好的。谢谢你让我懂得了三维空间。看来，二维世界的人理解三维空间真不容易啊！
好了，回到现实中来。这次，让我们交换一下位置，由我来描绘一个四维立方体的样子吧。你会发现，现在，一切都比你想象中的更容易了。
四维立方体是由8个大小相同的三维立方体组成的，其展开图如图5所示。
图5
图6是粘合出来的四维盒子，还差一个盖子没有盖。这些看起来像棱台的东西其实都是根正苗红的正方体，只是由于它们在四维空间中位置不同，发生了透视。
图6
把盖子盖上后，我们就看到了传说中的四维立方体，如图7所示。
图7
相信不少人都已经在其他地方见过这个图形了。图上有一大一小两个标准模样的立方体，这是第四维度上位置不同但都正对我们的两个“三维面”。其他棱台其实都是正方体，只是看上去因透视而变形。四维立方体可以看做三维立方体的移动轨迹，因此画一个四维立方体很简单：画两个三维立方体，然后连接对应顶点即可。如图 8所示，观察四维立方体的旋转，你会看到里面的小立方体穿过一个面跑到了外面，接下来还将继续变成最外面的大立方体。这一切都和二维向三维的推广是类似的。仔细观察思考，你还会发现更多可以类比的地方。
图8
现在，合上书，闭上眼，体会一下超越三维空间的美妙感吧。
祝愿你今晚能够做一个四维的梦。
注 释
[1]. 博客地址为http://zhiqiang.org/blog。
[2].云风的博客地址为http://codingnow.com。
[3]. 康威生于 1937年，是一位非常有名的英国数学家。他发明并研究了很多有趣的数学游戏。记住康威这个名字，后面我们还会多次提到他。
[4].严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同的数字。
[5].又叫做帕斯卡（Pascal）三角，是一个由正整数构成的三角形数阵，其生成规律非常简单：每行左右两头的数都是1，中间的数都是它左上角的数和右上角的数之和。在代数和组合数学中，杨辉三角都有着非常重要的意义。如果把首行称做“第0行”（因而第二行就叫做“第1行”），把每行的头一个数叫做“第0个数”（因而第二个数才是“第1个数”）的话，那么杨辉三角第m行的第n个数就等于（1﹢x）m的展开式中的n次项系数，也是从m个不同物体中取出其中n个物体的方案数
[6]. 匈牙利数学家，在数学界极其活跃，一生中与数百人合作，发表过 1525 篇数学论文，是目前发表论文数最多的数学家。埃尔德什研究过很多数学谜题，并给出了异常漂亮的解答；但同时，他也遇到了很多至今仍未解决的数学难题，并立下了大大小小的悬赏。不过他坚信，上帝手中有一本书，书中记载了所有数学定理最精妙的证明。记住埃尔德什这个名字，我们后面还会反复提到他。
[7].木遥的博客地址为：http://blog.farmostwood.net。
[8].假设有n 只鸽子飞回m个笼子，如果n ＞ m的话，那么一定有至少一个笼子，它里面有不止一只鸽子。事实上，至少有一个笼子，它里面有不少于
[9]. 这并不是显然成立的，它是一个需要严格证明的定理。这叫做“算术基本定理”，有时也叫做“唯一分解定理”。
[10].范翔的博客地址为http://www.eaglefantasy.com。
[11]. 一些数学书上也把它叫做“黎曼函数”，这是以德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的名字命名的。
[12]. 杰夫·塔珀的论文原文中所给出的n值可能有误，这里给出的是正确的n值。
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