联合概率密度和边缘联合概率密度

    

    定义3.3.1设F（x， y）是二维随机变量（X， Y）的联合分布函数，如果存在一个非负可积函数f （x， y），使得对任意的实数x， y，有

    

    则称（X， Y）是二维连续型随机变量，称f（x， y）为二维连续型随机变量（X， Y）的概率密度函数或X与Y的联合概率密度函数（简称联合概率密度或联合密度）.

    联合密度函数f（x， y）具有以下性质：

    （1）非负性f（x， y） ≥ 0；

    

    类似于二维离散型随机变量的边缘分布律，可以定义二维连续型随机变量的边缘密度函数.称随机变量X， Y的密度函数fX（x）和fY（y）分别为（X， Y）关于随机变量X和Y的边缘密度函数.

    由于随机变量X的边缘分布函数为

    

    因此，关于随机变量X的边缘密度函数为

    

    类似可得关于随机变量Y的边缘密度函数为

    

    例3.3.1设二维随机变量（X， Y）的概率密度函数为

    

    即X服从参数为λ = 2的指数分布；

    

    即Y服从参数为λ = 3的指数分布.

    例3.3.2设二维随机变量（X， Y）的概率密度函数为

    其中G是由y=| x|和y=1围成的区域，

    

    解（1）由规范性，

    

    （1）分别求X和Y的边缘密度；

    （2）求条件概率P｛X≤1 |Y≤1｝.

    解（1）关于X的边缘分布为

    

    关于Y的边缘分布为

    

    

    例3.3.4设二维随机变量（X， Y）的概率密度函数为