波动方程的物理意义

    波动方程含有x、t两个自变量，它给出了任意时刻t波线上任意位置x处的质点振动的情况．为了理解波动方程的物理意义，现以式（7.4）为例作进一步分析．

    （1）当x一定时，x处质点的位移y就只是时间t的函数，这时式（7.4）表示x处质点的位移随时间的变化规律，即x处的质点的简谐振动方程．

    （2）当t一定时，波线上的质点的位移y只是x的函数，这时式（7.4）表示该时刻波线上各质点离开平衡位置的位移，也就是表示在给定时刻的波形．如果以y轴为纵坐标，以x轴为横坐标，可画出y-x曲线，这是一条波形曲线，也叫波形图．

    综上所述，波动方程不仅表示波线上给定点的振动情况和某一时刻的波形，它也反映了质点振动状态的传播和波形的传播．

    例7.2　一平面简谐波的波动方程为y=0.05cos（10πt-4πx），x、y的单位为m，t的单位为s．求该波的振幅、波速、频率和波长．

    解　波动方程

    与式（7.2）比较，可得

    又

    例7.3　如图，一平面简谐波沿x轴正方向传播，a、b为x轴上两点，相距1m．波的传播速度为u=6m·s-1，已知b点的振动方程为

    （1）以b为原点，写出波动方程；

    （2）以a为原点，写出波动方程；

    （3）若波沿x轴负方向传播，再以b为原点，写出波动方程．

    图7.6　例7.3图

    解　（1）b点的振动方程为

    沿x轴正方向传播，则波动方程为

    （2）由于波沿x轴正方向传播，故a点的振动超前于b点，其振动方程为

    以a为原点的波动方程为

    （3）若波沿x轴负方向传播，以b为原点的波动方程为

    图7.7　例7.4图

    解　由波形图可知，振幅A＝2m，波长λ＝4m，频率

    圆频率

    

    设该波传到原点时，原点处的振动方程为

    因t=2s时，x=0处的位移为零，即

    由波形曲线可知，该时刻原点处质点振动速度为负，所以取

    

    于是，原点处的振动方程为

    因波沿x轴正方向传播，相应的波动方程为