含参变量广义积分

§8.3　含参变量广义积分

    一、收敛性和一致收敛性的概念

    形如的积分，称为含参变量y的广义积分。

    1．点态收敛性

    假设对于区间［c，d］内的任一给定的y，广义积分收敛，则就是定义于［c，d］上的函数。

    点态收敛的ε－A语言：∀y∈［c，d］，∀ε>0，∃A₀＝A₀（ε，y）>0，st当A′，A″≥A₀时，成立有

    

    2．一致收敛性

    假设∀ε>0，∃A₀＝A₀（ε），st∀y∈［c，d］，当A′，A″≥A₀时恒有（1）式成立，称广义积分关于y∈［c，d］一致收敛。

    注　（1）上述定义中参数范围［c，d］可以置换成一般的区间I；

    　　（2）含参量瑕积分的收敛性和一致收敛性的概念类似定义。

    3．不一致收敛的叙述

    设在y∈［c，d］上处处收敛，它不一致收敛是指：

    

    二、一致收敛性判别法

    从定义出发判定，亦即寻找一个不依赖于y的A₀（ε），自然也是一种方法。但这无异于钻木取火不方便，故需要寻找出一系列便捷的判定方法（充分条件）。当原函数易求时，定义法也有优势，依定义或柯西准则判断。

    1．一致收敛的柯西准则

    定理1　含参量无穷积分在y∈［c，d］上一致收敛的充分必要条件是：∀ε>0，∃A₀＝A₀（ε），st∀y∈［c，d］，当A′，A″≥A₀时恒有

    

    反面叙述：含参量无穷积分在y∈［c，d］上不一致收敛当且仅当：

    　∃ε₀>0，∀M>a，∃A′，A″>M，∃y₀∈［c，d］，

    2.判别法（Weierstrass判别法）

    3．阿贝尔判别法

    定理3　设（1）关于y∈I一致收敛；

    4．狄利克雷判别法

    定理4　设（1）一致有界；（关于A和y而言）

    该两个判别法是处理乘积项被积函数的含参广义积分一致收敛性的重要工具。其证明思路是利用积分第二中值定理以及一致收敛性的柯西准则。

    

    狄利克雷法时，g（A′，y）<ε，g（A′，y）<ε（关于y一致成立）。

    注　请与不含参广义积分的相应判别法作对照。

    5．与函数项级数一致收敛性的转化

    对任一列A_n↗＋∞，A₁＝a，函数项级数在y∈［c，d］上一致收敛。

    反证法　若在y∈［c，d］上不一致收敛，依Cauchy准则，

    ∃ε₀>0，∀M>a，∃A′，A″>M，∃y₀∈［c，d］，

    取　M₁＝max｛1，c｝，∃A₂>A₁>M₁，及y₁∈［c，d］，有

    

    取　M₂＝max｛2，A₂｝，∃A₄>A₃>M₂，及y₂∈［c，d］，有

    

    一般地，取M_n＝max｛n，A_2（n－1）｝，∃A_2n>A_2n－1>M_n，及y_n∈［c，d］，有

    

    考虑级数，其中｛A_n｝如上，则

    故函数项级数在y∈［c，d］上不一致收敛。矛盾。

    注　作为比较，不含参广义积分的相应结论参阅§8.1第二段第8条。

    6．不一致收敛的一个判别法

    证明　只需利用Cauchy收敛准则（习题5）。

    三、一致收敛的性质

    1．连续性

    定理7　设f（x，y）在D＝［a，＋∞）×［c，d］上连续，积分在y∈［c，d］上一致收敛，则J（y）在［c，d］上连续。

    2．可微性

    定理8　设（1）f（x，y）及f_y（x，y）在D＝［a，＋∞）×［c，d］上连续；

    　　　　（2）在y∈［c，d］上收敛；

    

    3．积分换序

    

    4．双无限区间上的积分换序

    若在上述（6）式中的积分上限d改为＋∞，在同样的一致收敛条件之下结论未必成立。

    例1　在D＝［1，＋∞）×［1，＋∞）上定义了函数，考虑

    是否成立。

    因为

    所以在y∈R上一致收敛；完全类似地，在x∈R上也一致收敛。但

    

    所以对于双无限区间上的累次积分换序，仅一致收敛的条件是不够的。

    下面我们介绍两个结果。

    

    定理10　设f（x，y）在D＝［a，＋∞）×［c，＋∞）上连续且非负，积分

    都是连续函数，则

    

    证明　∀d>c，，

    由此可知

    依字母轮换对称性知反向不等式

    

    也成立。所以有

    

    注　从证明过程可知，（7）式两边要么同时为有限数，要么同时为无穷大。

    定理11　设f（x，y）在D＝［a，＋∞）×［c，＋∞）上连续，且

    （2）至少有一个收敛，则有

    

    四、典型例题

    例2　判定积分的一致收敛性。

    例3　证明积分

    　　（1）在任何区间内0<a≤α≤b一致收敛；

    　　（2）在区间0≤α≤b内非一致收敛。

    分析　先看看积分的收敛性。α＝0时，I（0）＝0；α>0时，I（α）＝1。

    （联想到概率中的指数分布）

    结果I（α）在α＝0处不连续，故极有可能就在α＝0处一致收敛性出了问题。

    （此为执果索因法）

    证明　（1）0<a≤α≤b时，若用M判别法，可以取M（x）＝be^－ax，αe^－αx≤be^－ax，而显然。

    或者：因为αe^－αx的原函数易求，故可以设法使用定义来证。

    

    ，有

    （2）反证法：若I（α）对于0≤α≤b一致收敛，则I（α）应该在［0，b］上为连续，矛盾。或分析：α→0＋时，，如何用ε₀的语言表达？

    

    当0≤α<＋∞时，从定义出发

    对于充分大的A，当α→0时，

    但若0<a≤α<＋∞时，则当A→＋∞时。

    故在0<a≤α<＋∞上积分也一致收敛。

    故，在α≥0上关于x单调递减；且；

    当x→＋∞时，g（x，α）一致趋于0。由狄利克雷法知，原积分在α≥0上一致收敛。

    例6　Γ-函数，（s<1时，0为奇点）。

    易知，当s>0时，Γ（s）收敛。s≤0时，发散，于是由广义积分得出了定义于（0，＋∞）上的超越函数，称为Γ函数。为了研究Γ函数的性质，如连续性，可导性，就得研究其一致收敛性。

    可以猜测Γ（s）在0<s<＋∞上不一致收敛（反证法也行）。

    

    ∀δ>0（δ充分小）

    

    下面证明：在任何［s₀，S₀］（0<s₀<S₀）上，Γ（s）一致收敛。

    

    对I₁，收敛。

    对I₂，收敛。

    所以I₁＋I₂在［s₀，S₀］上关于s一致收敛，因此得出Γ（s）在s>0上连续。

    例7　设函数f（x）在x>0时连续，积分在α＝a，α＝b（a<b）处收敛，证明该积分在α∈［a，b］一致收敛。

    证明　，利用Abel判别法。

    例8　证明在α∈［0，b］上一致收敛。

    继续使用Dirichlet法，取f₁（x，α）＝sin2x，

    例9　试证积分在　p≤p₀<1上一致收敛。

    对I₂，令

    当p≥－p₀>－1时，

    

    于是I₂在p≥－p₀>－1上一致收敛。总之，原积分在p≤p₀<1上一致收敛。

    习题8.3

    1．证明在a≤α≤b上一致收敛，在－∞<α<＋∞上不一致收敛。

    3．证明在0≤y≤1上一致收敛。

    4．证明在0<α<1上一致收敛。

    7．Beta函数在其定义域p>0，q>0内连续。

    （在［p₀，＋∞）×［q₀，＋∞）上一致收敛，p₀>0，q₀>0）。

    8．证明狄利克雷积分

    　（1）在每个不含数值0的闭区间α∈［a，b］上一致收敛。

    　（2）在含数值0的任一个闭区间α∈［a，b］上不一致收敛。

    9．证明在0<α<＋∞上不一致收敛。

    10．定义，求g′（α）。

    （北京师范大学2002年）