第三节 两个消耗系数
编制投入产出表的目的是利用它提供的各种信息对经济进行分析，其中，最主要的是对生产过程中各部门之间相互依存的技术经济联系的分析，这种分析需要根据投入产出表计算两个消耗系数，即直接消耗系数与完全消耗系数。表13－5是一个简化的按三次产业分类的国民经济投入产出表，现以该表为例说明两个消耗系数的计算。
一、直接消耗系数
直接消耗系数是指某一部门生产单位总产品直接消耗各部门产品的数量。一般是用各部门总产量去除该部门所消耗有关部门产品的数量。根据表13－5中符号的含义，若以aij代表直接消耗系数，则：
式中：xij表示j部门消耗i部门中间产品的数量；Xj表示j部门的总产品量；aij表示j部门生产单位总产品消耗i部门产品的数量，即直接消耗系数。
根据表13－5中的资料可以计算出直接消耗系数（见表13－6）。
表13－5 三次产业投入产出表 单位：亿元
表13－6 直接消耗系数矩阵
用价值量计算的直接消耗系数aij的取值范围为0≤aij≤1。在此范围内aij的大小可反映i和j两部门相互直接联系的强弱，aij等于0则表示i和j两部门之间没有直接联系。
全部直接消耗系数aij所组成的矩阵，称为直接消耗系数矩阵，并用A表示。则
故而表13－6也可看做是一直接消耗系数矩阵。
将直接消耗系数公式代入上述投入产出平衡关系式，可得：
用矩阵表示为：AX＋Y＝X
整理可得：（I－A）X＝Y
（I－A）－1Y＝X
式中：X＝（X1，X2，…，Xn）T；Y＝（Y1，Y2，…，Yn）T。
二、完全消耗系数
国民经济各部门之间除存在直接联系外，还存在间接联系，即除存在直接消耗关系外，还存在间接消耗关系。如图13－1所示。炼钢需要消耗电，这是钢对电的直接消耗，其直接消耗系数记为a41，同时，炼铁需要消耗生铁，其直接消耗系数记为a21，而炼铁也需消耗电，其直接消耗系数记为a42，这是钢通过生铁对电的第一次间接消耗，其间接消耗系数应为a42·a21。同时炼铁需要消耗矿石，其直接消耗系数记a32，而采矿也需要消耗电，其直接消耗系数记为a43，这是钢通过生铁再通过矿石对电的第二次间接消耗，其间接消耗系数应为a43·a32·a21，等等。钢对电的完全消耗系数应等于直接消耗加间接消耗系数，即：a41＋a42·a21＋a43·a32·a21＋…
图13－1
完全消耗系数是指某一部门生产单位最终产品，需要直接和间接消耗各部门产品的数量。
图13－1是一个高度简化的示意图，图中产品的间接消耗只包括两个层次和一种产品。实际上，产品之间的消耗关系可以包括很多层次，甚至是无限层次，而且每个层次的媒介产品通常不是一种，而是多种。因而，完全消耗系数（通常用bij表示）可用下列公式表示：
上式可写成矩阵形式如下：
B＝A＋A2＋A3＋…＋Ak＋…
式中Ak（k≥2）为k－1次间接消耗系数矩阵，并且直接消耗系数矩阵A满足
，根据线性代数原理可以证明由（A1，A2，…，Ak，…）组成的矩阵其幂级数是收敛的，则有：
上式可写成：
B＝A（I＋A＋A2＋…＋Ak）
B＝A（I＋B）
B＝A（1－A）－1
B＝（I－I＋A）（I－A）－1
B＝（I－A）－1－（I－A）（I－A）－1
∴B＝（I－A）－1－I
式中：B表示完全消耗系数矩阵；I表示单位矩阵。
到此，我们就得到了利用直接消耗系数矩阵A计算完全消耗系数矩阵B的方法。
式中矩阵（1－A）－1称为列昂惕夫逆矩阵，它在投入产出分析中占有核心位置。记为
，
从而列昂惕夫逆系数
与完全消耗系数bij之间的关系是：
同时两者的经济含义也有区别。完全消耗系数bij表明当j部门生产一个单位最终产品时，所完全消耗i部门产品的数量，列昂惕夫逆系数
除包括完全消耗i部门的产品数量外，还包含j部门产出的一个单位最终产品本身。列昂惕夫逆系数与完全消耗系数同样都是联结最终使用与总产出的桥梁。
表13－7是根据表13－6的直接消耗系数矩阵A计算出的列昂惕夫逆矩阵。
表13－7 列昂惕夫逆矩阵（I－A）－1
利用列昂惕夫逆矩阵，可以在已知各部门的最终使用（即最终产品列向量Y）时，计算出满足这一最终使用所需要的各部门总产出量（即总产出列向量X）：
X＝（I－A）－1Y
这是投入产出分析中测算社会总供需平衡的最基本平衡关系式。
