体积分的随体导数

    设在流场中某时刻t，取一边界面为S（t）、体积为V（t）的封闭系统，系统内的物理量为φ（t，r）。经Δt后，系统移到新的位置，边界面为S（t＋Δt），体积为V（t＋Δt），物理量变为φ（t＋Δt，r）。如图3－1所示。

    图3－1 控制体与系统

    物理量φ在系统内的体积分为

    体积分的随体导数为

    按图示，系统的体积分为两部分，即

    则系统的体积分可写成

    因为Δt→0时，区域Ⅱ变为控制体，故有

    如果取控制体为瞬时t的系统边界S（t），则可将控制体边界分为流入界面S1和流出界面S2，S（t）＝S1＋S2。当Δt→0时，系统与控制体间必有

    式中：v为流体速度；n为界面外法线。

    将以上各式代入式（3－1），便得

    上式可改写为

    上式表明，体积分的随体导数由两部分组成：右边第一项表示物理量φ随时间的变化；第二项表示物理量φ通过表面积S的通量，是体积变化引起的。

    另外还要说明以下两点：

    1）该式由Δt→0取极限得出，故仅在t时刻，亦即系统与控制体积重合的那一瞬时成立。

    2）坐标系xyz可能静止也可能运动，速度场v（x、y、z、t）是相对于该坐标系的观察者所确立的，故（3－7）式中的v是相对于坐标系xyz，亦即相对于控制体积而言的相对速度。

    利用奥高公式，式（3－7）可改写为

    任意物理量φ与密度乘积体积分的随体导数为

    按式（3－8），将φ换成φρ，则

    根据质量守恒，上式变为

    在本节以后的流体运动方程的推导中，将会用到这几个随体导数的关系式。