方差的性质

    方差具有下面性质：

    1．设c为常数，D（c）＝0；

    2．设c为常数，则D（c X）＝c2D（X）；

    3．D（X±Y）＝D（X）＋D（Y）±2E｛［X－E（X）］［Y－E（Y｝）］；

    4．若X与Y相互独立时，有D（X±Y）＝D（X）＋D（Y）；

    5．若随机变量X的方差存在，对任意的常数c≠E（X），则

    D（X）＝E［（X－E（X））2］＜E［（X－c）2］．

    证明 （仅证性质4、性质5）．

    （1）由数学期望的性质及求方差的公式得

    D（X±Y）＝E［（X＋Y）2］－［E（X＋Y）］2

    ＝E［X2＋Y2＋2XY］－［E（X）＋E（Y）］2

    ＝E（X2）＋E（Y2）＋2E（X）E（Y）－［E（X）］2－［E（Y）］2－2E（X）E（Y）

    ＝｛E（X2）－［E（X）］2｝＋｛E（Y2）－［E（Y）］2

    ＝D（X）＋D（Y）．

    （2）对任意常数c，有

    E（X－c）2＝E［（X－E（X）＋E（X）－c）2］

    ＝E［（X－E（X））2＋2［（X－E（X）］（E（X）－c）＋（E（X）－c）2］

    ＝E［（X－E（X））2］＋2（E（X）－c）E［X－E（X）］＋（E（X）－c）2

    ＝D（X）＋（E（X）－c）2＞D（X）．（对任意常数c≠E（X））

    推论：D（c1X＋c2）＝c21D（X），（c1，c2为常数）；

    若X1，X2，…，Xn相互独立，则