基于因子分析法和熵权法的权重确定

基于因子分析法和熵权法的权重确定_2010浙江省人口普查重点课题及优秀论文集

    （二）基于因子分析法和熵权法的权重确定

    1.因子分析法

    因子分析的核心是用较少相互独立的因子反映原有变量的绝大部分信息。设有p个原有变量x₁，x₂，…，x_p，且每个变量都是经过标准化处理的，均值为0，标准差为1。现将每个原有变量用k （k＜p）个因子f₁，f₂，…，f_k的线性组合来表示，则因子分析的数学模型可以表示为：

    

    矩阵的形式为：X＝AF＋ε。其中：F称为公共因子，A称为因子载荷矩阵，a_ij（i ＝1，2，…，p；j＝1，…，k）称为因子载荷。

    2.熵权法

    本文利用熵权法确定个指标的权重系数。

    信息熵定义为：H（x）＝p（x_i）lnp（x_i）。一般地，决策中某项指标的指标值变异程度越大，信息熵H（x）越小，该指标提供的信息量越大，该指标的权重也应越大；反之若某项指标的指标值变异程度越小，该指标的权重也应越小。因此，可以根据各项指标测度值的变异程度，利用熵技术计算出各指标的权重，具体步骤如下：

    Step2：计算第j项指标的输出熵，，j＝1，2，…，n，若p_ij＝0，则pi_jlnpi_j＝0；

    Step3：计算第j项指标的变异度，D_j＝1－E_j，1≤j≤n；

    Step4：计算第j项指标的权重，w_j＝

    3.权重系数的确定

    在前面的灰关联度分析中，我们已经确定了各个指标因素和人口之间关联程度。在此，根据因素关联程度的高低，在经济、资源和生态每个系统中各选取两个关联程度最高的因子来做因子分析。在经济系统中，指标c1和c2和人口的关联程度最高；在资源系统中，c11和c17的关联度最高；而在生态系统中，c18和c20对人口的影响较大，所以我们选取c1，c2，c11，c17，c18，和c20作为因子分析的样本数据进行分析。

    根据因子分析的结果（表4.3），第一个因子在人均GDP，人均第三产业增加值和人均医疗床位数上的载荷较大，呈较强的正相关关系。第二个因子在下水道长度和公园绿地面积上载荷较大。第三个因子在人均耕地面积上的载荷较大。因此从各指标的属性来看，第一个因子主要反映经济系统，第二个因子主要反映生态系统，第三因子主要表征资源系统。

    因此，本文中以各个主成分作为变量，利用熵权法得到三个因子的权重ω₁，ω₂，ω₃分别为：0.3525，0.3364和0.3111。

    表4.3　因子载荷矩阵和因子得分矩阵