(1/3) 相似矩阵的概念
设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得成立,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,记作。
(2/3) 相似矩阵的性质
(1)反身性 对任意的方阵,与相似; (2)对称性 若与相似,则与相似; (3)传递性 若与相似,与相似,则与相似.
(3/3) 相似矩阵的相关结论
(1)相似矩阵的秩和行列式都相同. 证明:因为与相似,所以存在可逆矩阵,使,因此,且(2)相似矩阵有相同的可逆性,且可逆时其逆也相似. 证明: 由(1)有,所以它们的可逆性是相同的.设与相似,且可逆,则也可逆,且即与相似. (3)若n阶矩阵A与B相似,则A与B具有相同的特征多项式,从而A与B有相同的特征值. 证明:因为A与B相似,所以有可逆矩阵P,使,因此即A与B有相同的特征多项式。 推论:若n阶矩阵A与对角矩阵相似,则,是A的n个特征值. (4)若n阶矩阵A与B相似,则A与B具有相同的迹()。 (5)若n阶矩阵A与B相似,由,要联想到以下结论: (i),。 (ii),进而知以及。 (iii),进而可以用相似求方幂(6)若,且A,B都可逆,则。 (7)若,则。
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