正如前面曾指出的，分数概念的引入是非常必要的。分数的引入，是数系的第一次大扩展，它使人们能够更精确地描述客观事物的数量关系。正如我国刘徽所指出的，数量关系不可能只用整数表示，有时也要用分数来表示。
数扩展到分数后，由于实际需要又产生了分数四则运算规则，这是非常自然的。如同有了自然数后，就相应的有自然数的四则运算一样。另一方面，分数四则运算还有其他的重要性质。分数四则运算本身不仅可以直接解决许多实际问题，而且，其他许多运算要归结到分数运算，是其他数学方法不可少的工具。刘徽说：“法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。”这正是我国第一部重要数学著作《九章算术》在第一章中先讲分数的原因。
我国作为世界上最早建立分数四则运算的国家，在战国时期就已经进行过分数四则运算。在秦汉时期便已成熟。成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》中已经能够在解决实际问题时熟练地进行分数运算了。事实上，书中的某些内容充分显示了我国在分数计算方面已经达到很高的水平，远远地超出当时世界上其他各国。
到西汉初成书的《九章算术》更是集其大成，在世界数学史上第一次建立了完整的分数理论。
《九章算术》中明确提出了分数的基本性质：分子、分母同乘以或同除以一不为零的数，其值不变。刘徽在注中将这一基本性质概括为分数的两条变形规则：“乘以散之；约以聚之。”他在注中说：“分数，如果讲得复杂会给运算带来麻烦，例如四分之二，说法不同，可以说是八分之四；简单一些，也可以说是二分之一。说法不同，数值却是不变的。”有了对分数性质的这一正确认识，就可以建立分数的通分、约分运算了。
对通分，刘徽提到其必要性，因为分数经过通分才能进行加减法运算。通分的方法被刘徽概之以“齐同以通之”，齐同术最初就是通分的方法。刘徽指出，通分的理论依据在于分数的变形规则“乘以散之”。通分运算包括两步，一是使诸分数的分母同一，通过群母相乘得到，称为“同”；二是使各分数保持不变，通过母互乘子而得，称为“齐”。“同”是为分数相通；齐是保证“势不可失本数”。可见，刘徽的齐同术与与我们所学的通分方法基本一致。不过，也多少有一点不同处。现在我们在通分时一般要求取原分母的最小公倍数作公分母。但在《九章算术》中所出现的通分问题，一般是采取分母互乘的方法。后来的《张邱建算经》一书，先是在序文说：“学算者不患乘除之难，而患通分之为难”。接着提出的通分方法也是直接取了两分母的乘积，没有取两者的最小公倍数。古代人之所以这样做，大约是因为求最小公倍数并不那么简单，而直接取分母的乘积反而更易行些。也就是说，取最小公倍数的方法在理论上是重要的，但在运算中却不一定实用。
约分术是《九章算术》的重要算法。书中提到约分术时说，分子、分母分别是二的倍数时，就相应用二或五去化简。否则就用等数约之。而等数就是指我们现在所说的最大公约数。我国古代求最大公约数的方法叫做更相减损术，它与有世界声誊的欧几里得算法是一致的。
约分、通分正如我们已经知道的那样，是进行分数四则运算的基础。有了约分、通分的办法，分数的四则运算就是水到渠成的事情了。我国在《九章算术》成书时代对分数四则运算已极为熟练，其分数加、减、乘、除运算规则分别称为合分术、减分术、乘分术、经分术，其运算方法与现在我们所学习的完全一致。我们对此不再多说了。需要稍微提一下的是，古代人由于当时对负数还缺乏认识——对这一点，在后来的章节中我们会进一步说明——所以对两个分数做减法时，要求前者大于后者才能进行运算。当然这要比较两个分数的大小，对此我国古代还提出了课分术，即比较分数大小的方法，它与减分术基本相同。
对于我国古代在分数运算方面所取得的成就，我们往往会低估。因为在今天，当我们上小学四、五年级时已经学会做分数四则运算了。不过，当了解到古代其他民族，迈出这一步所经历的漫长与曲折历程时，你可能会对我国所取得的成就感到几分自豪了。
分数算术在古埃及数学中占有特别重要的地位。关于埃及分数较完整的一份资料至今仍保存在大英博物馆里。通过这份成文于约公元前1700年的“莱特草纸”，我们可以清楚了解到古埃及人处理分数的方式。正如我们已提到的，古埃及人总是喜欢把所有分数化为单分子分数的和，那么他们是如何实现这一点的呢？在这份草纸上的一张表上，记录着分子为2，分母为3、5、7、9………101的分数分解成单位分数之和的形式，只有2／3除外，没有做这种分解。古埃及人建立的这张特殊的表，向后人清楚表明了他们正是利用这样的表，将其他任何分数化为单分子分数，并进行相应的分数运算的。例如使用这种表有：
5／21＝1／21＋2／21＋2／21＝1／21＋1／14＋1／42＋1／14＋1／42＝1／21＋2／14＋2／42＝1／21＋1／7＋1／21＝1／7＋2／21＝1／7＋1／14＋1／42
运算是何等复杂！而且这种运算不单单是冗长的问题，它还要求有相当的技巧。可见即使是有了这样的表，进行分数运算时也是非常困难的。正是从运算的角度，我们才能更清楚地明白古埃及人只用单分子分数所带来的好处远远无法抵消掉它带来的不足。事实上，埃及人处理分数的这种方式给他们的数学造成了一种沉闷的性质，妨碍了其数学的进一步发展。它像罗马计数法一样，严重地迟滞了古埃及人数学的进步。后人推测，他们之所以未能把算术和代数发展到高水平，其分数运算之繁难恐怕是原因之一。
除了古埃及外，在古代许多其他民族，分数运算也都是令人深感头痛的事。公元7世纪，俄国亚美尼亚地方著名数学家阿那尼在他的《算术习题课本》中，给出八个分数相加的习题，就被人们认为他的知识达到最高水平。当时欧洲最有学问的英国修士倍达说：“世界上有很多难做的事，但是，没有比算术四则再难的了。”欧洲到15、16世纪还感到困惑。例如意大利学者帕西沃里对分数相乘有时乘积会小于被乘数觉得大惑不解。而英国人唐士陶取材帕西沃里《算学大成》，用拉丁文编成的算术，还是当时牛津、剑桥大学的教科书呢。直到1570年英国还有人作打油诗表达对数学运算的厌恶：
“乘法原可恼，
除法尤不便；
比例之法更艰涩，
习之真使人发狂。”
到16、17世纪，欧洲人才总结出类似于我国《九章算术》的分数四则运算法则以及有关的文字题。甚至直到18世纪，欧洲人对分数运算仍心有余悸。1735年，英国一本算术教科书的作者曾讲了这样一段话：“为了照顾学生们……我们把通常称为分数的破碎数的运算规则单独叙述，部分学生在看到这些分数时，灰心到就此停止学习，他们嚷声说：‘不要再往下了！’”可见历史上人们对分数运算厌烦、畏惧到何等程度。那时精通四则运算就可算作学者了，至于分数，简直难于上青天！德国谚语形容一个人已陷入绝境，束手待毙，就说他已“掉到分数里去”。
这并不奇怪，今天我们课堂上一、二个小时或几分钟就可掌握的知识，在科学史上往往要花费几年、几十年，甚至上百、上千年的时间。前面已经提到过的位值制与零的引入，不也是很好的例证吗？
上一篇：剖视图的基本概念和剖视图的画法
下一篇：六个实施工作原则
