§5.4 幂级数·级数求和法
幂级数∑an（x－x0）n和∑anxn只相差一个平移变换，故只需讨论∑anxn的性质、收敛性、求和法。
幂级数包含三方面内容：
1．已知函数f（x）在x＝0或x＝x0的幂级数展开；
2．幂级数的性质（收敛半径、逐项可导、逐项可微等等）；
3．幂级数及数项级数求和法。
对第一项内容在Taylor展开部分已作了一定讨论，现只要掌握几个重要的幂级数展开式：ex，sinx，cosx，（1＋x）α，ln（1＋x），并记牢它们的收敛域。
本节主要研究第二、三项内容。
一、幂级数的收敛性与一致收敛性
1．幂级数的收敛半径与收敛范围
（1）柯西－阿达玛公式：收敛半径
特别，当极限存在时，可将上极限置换成极限；公式（1）中的分母允许取到0或＋∞。
（3）对区间的端点，要单独进行讨论（往往用交错级数的Leibniz判别法，或拉阿伯判别法等）。
例1 求幂级数∑anxn的收敛域，其中系数｛an｝如下：
（3）an表示正整数n的因子的个数；
若b<a时，类似讨论。
（4）由二项式定理
2．幂级数的一致收敛性
Abel第二定理：设幂级数∑anxn的收敛半径为R，则该幂级数在其收敛区间内闭一致收敛，又若级数在端点R处收敛，则它必在［a，R］（－R<a<R）上一致收敛。
二、幂级数的和函数的性质
设S（x）＝∑anxn，收敛半径为R。
1．和函数连续性
Abel定理 S（x）在收敛区间上连续。
（若幂级数在端点处收敛，则和函数在该端点亦单边连续）。
2．逐项可积性
3．逐项可导性
但只须对幂级数的系数an给以一定条件，则某种类型的“Abel定性的逆定理”还是成立的，请看下述例子。
（1）an≥0；
（2）limnan＝0；
在证明了∑anxn在x＝1收敛后，由Abel定理必有∑an＝S。
（2）、（3）款的证明读者可以参阅［3］§5.6节。限于篇幅，在此不证。
（2）此级数的收敛域为（－1，1］；
（3）在（－1，1］上此级数不一致收敛。
（武汉大学1996年）
证明 （1）以前已经证得，参见§1.1例4。
（3）由于级数在x＝－1处发散，易知在（－1，1］不一致收敛。
若用不一致收敛的定义，则有一定难度：
（北京科技大学2001年）
注 本例的变量代换化简技巧值得仿效与思考，巧用已知函数的Taylor展开式亦值得留意。
三、幂级数求和法
1．利用逐项求导和逐项求积分
在端点±1处，另行计算出S（1）＝2ln2－1S（－1）＝1。
解 该级数收敛区间（－1，1）∀｜x｜<1，逐项积分得
所以
2．方程式法
要点：设法证明级数的和函数满足某个微分方程，然后解此方程。
解 收敛区间（－∞，＋∞），逐项求导知
S′（x）＝1＋xS（x），且S（0）＝1
依据贝努里方程y′＋p（x）y＝Q（x）的通解公式
3．三角级数求和法
解 令z＝eix＝cosx＋isinx（欧拉公式）
得知；
4．利用级数的柯西乘积公式
由迫敛性知
从而收敛半径R＝1，端点±1处显然发散。所以级数的收敛域是（－1，1）。联想级数的乘积公式：∀x∈（－1，1），如下的两个幂级数
皆绝对收敛（乃幂级数之性质），相乘立得：
若将题目改成：
或
又将如何求和？
四、数项级数求和法
1．拆项相消法
便可以拆项相消。
解 由于
易知
2．利用Abel第二定理即和函数连续性计算
所以
更一般地，笔者曾探讨一类所谓的等间距交错级数u1＋u2＋…＋uq－uq＋1－uq＋2－…－u2q＋u2q＋1＋…（其中q为某自然数，un≥0）的收敛性及求和法，推广了Leibniz交错级数收敛性判别法，并就un是等差正整数列的倒数的情形推导了一般求和公式。在此兹撷取两个结果：
对相关结论有兴趣的读者可以参阅［21］。
在（－1，1）内逐项求导两次，得
求积分两次得出f（x）＝（x＋2）ln（1＋x）－2x，所以所求的和S＝f（1）＝3ln2－2。
3．利用欧拉常数
解二 令
逐项求导方法亦可以解得。
4．利用Fourier级数
Fourier级数的相关知识将在下一节中详加叙述，本段仅提供一个用Fourier级数求解数项级数和的例子。
令x＝0，同样得出
若记
则
习题5.4
（1993年数学（一））
（2002年数学（一））
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