线性方程组的解

    设有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组

    方程组（3.1）可写成以向量x为未知元的向量方程

    Ax=b，

    （3.2）

    第2章中已说明，线性方程组（3.1）与向量方程（3.2）将混同使用不加区分，解与解向量的名称亦不加区分.

    若线性方程组（3.1）有解，就称它是相容的，若无解，就称它是不相容的.

    消元法的基本思路是通过方程组的消元变形，将方程组化成容易求解的同解方程组，下面举例说明.

    例3.9　求解线性方程组

    这里，（3.3）→（B1）是为消去x1作准备（第一个方程中，x1的系数为1有利于计算）；（B1）→（B2）是消去②，③，④中的x1；（B2）→（B3）是为消去③，④中的x2作准备（第二个方程中x2的系数为1有利于计算）；（B3）→（B4）是消去③，④中的x2，与此同时，恰好把x3也消去了；（B4）→（B5）是消去④中的x4，与此同时，恰好把常数也消去了，得到恒等方程0=0（若此时常数项不能消去，会得到一个矛盾方程，说明方程组无解）. 至此消元过程结束.

    显然，方程组（3.3）与方程组（B5）是同解方程组，（B5）是4个未知数3个有效方程的方程组. 此时，应有一个未知数可以任意取值，称之为自由未知量. 由于方程组（B5）呈阶梯状，可把每个台阶的第一个未知数（即x1、x2、x4）作为非自由未知量，剩下的（即x3）作为自由未知量，由最后一个方程开始回代，最终可得到方程组的解，即：

    其中，x3可以任意取值，令x3=c（c为任意常数），方程组的解可表示为

    进一步观察发现，上述变换中，只对方程组中未知数的系数及常数项进行运算，未知数并没有参与运算. 消元法解线性方程组的3种变换，实际上相当于对线性方程组的增广矩阵施行相应的3种初等行变换，化增广矩阵为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵. 因为初等变换是可逆变换，所以行阶梯形矩阵、行最简形矩阵对应的线性方程组与原线性方程组是同解的. 于是可用矩阵的初等变换来解例3.9中的方程组，其过程可与消元法的求解过程一一对应：

    增广矩阵B经过初等行变换化成行阶梯形矩阵B5的过程，就是线性方程组的消元过程. 由方程组（B5）得到解（3.4）的回代过程，也可用矩阵的初等行变换来完成.

    即通过初等行变换把行阶梯形矩阵B5化成行最简形矩阵B6，

    B6对应方程组

    取x3为自由未知量，令x3=c（c为任意常数），得方程组的解为

    观察此例可发现，R（A）=R（B）=3<4=n（n为方程组中未知数的个数）.

    例3.10　求解线性方程组

    解　对线性方程组的增广矩阵B作初等行变换：

    即得

    则方程组的解为

    此例中，R（A）=R（B）=3=n（n为方程组中未知数的个数）.

    例3.11　求解线性方程组

    解　对线性方程组的增广矩阵B作初等行变换：

    矩阵B1对应的方程组为

    其中，第3个方程为“0=1"，这是一个矛盾方程，故原线性方程组无解.

    此例中，R（A）≠R（B）.

    由上面3个例子可以发现，利用系数矩阵和增广矩阵的秩之间的关系，可以方便地讨论线性方程组是否有解，以及有解时是唯一解还是无穷多解等问题. 有以下结论：

    定理4　n元非齐次线性方程组Ax=b，

    （i）无解的充分必要条件是R（A）<R（A，b）；

    （ii）有唯一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n；

    （iii）有无穷多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）<n.

    证　由于（i），（ii），（iii）的必要性依次是（ii）（iii），（i）（iii），（i）（ii）的充分性的逆否命题，所以只需证明（i），（ii），（iii）的充分性即可.

    设R（A）=r，则r≤R（A，b）≤r+l.为方便讨论，不妨设B=（A，b）的行最简形矩阵为

    故线性方程组Ax=b有唯一解.

    方程组（3.5）中未知数的个数多于方程的个数，因此，存在自由未知量. xr+1，…，xn可作为自由未知量，令xr+l=c1，…，xn=cn-1，即得方程组Ax=b的解为

    由于c1，…，cn-r为任意常数，故线性方程组Ax=b有无穷多解.

    （3.6）式表示了线性方程组Ax=b所有的解，称（3.6）式为线性方程组Ax=b的通解.

    由定理4，可知解线性方程组Ax=b时，只需对增广矩阵B=（A，b）施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，判别线性方程组是否有解；在有解时，继续对增广矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵，而后求出线性方程组的解.

    例3.12　求解线性方程组

    解　对线性方程组的增广矩阵B作初等行变换：

    可见R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.

    例3.13　求解线性方程组

    解　对线性方程组的增广矩阵B作初等行变换：

    因R（A）=R（B）=2<3，所以方程组有无穷多解. 与原方程组同解的方程组为

    取x3，x4为自由未知量，令x3=c1，x4=c2，得方程组的通解为

    例3.14　设有非齐次线性方程组

    问A取何值时，此方程组（1）有唯一解：（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.

    解一　对线性方程组的增广矩阵B作初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵：

    （1）当λ≠1且λ≠-2时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解；

    （2）当A＝-2时，R（A）=2<R（B）=3，方程组无解；

    （3）当λ=1时，R（A）=R（B）=1<3，方程组有无穷多解，此时

    与之对应的方程组为

    x1+x2+x3=1，

    取x2，x3为自由未知量，令x2=c1，x3=c2，得方程组的通解为

    解二　因为系数矩阵A为方阵，由克莱姆法则，方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0，而

    因此，当λ≠l且A≠-2时，方程组有唯一解：

    当λ＝-2时，

    R（A）=2<R（B）=3，方程组无解；

    当λ=1时，

    R（A）=R（B）=1<3，方程组有无穷多解，且通解为

    比较解一与解二，显然解二比较简单，但解二只适用于系数矩阵为方阵的情形.

    为了第4章研究的需要，把定理4推广到矩阵方程.

    定理5　矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R（A）=R（A，B）.

    证　设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵，X为n×l矩阵. 把X和B按列分块，记作

    X=（x1，x2，…，xl），B=（b1，b2，…，bl），

    则矩阵方程AX=B等价于l个向量方程

    Axi=bi（i=1，2，…，l）.

    先证充分性.

    设R（A）=R（A，B），由于R（A）≤R（A，bi）≤R（A，B），故有R（A）=R（A，bi）.

    由定理4知l个向量方程Axi=bi（i=1，2，…，l）都有解，故矩阵方程AX=B有解.

    再证必要性.

    设矩阵方程AX=B有解，从而l个向量方程Axi=bi（i=1，2，…，l）都有解，设解为

    记A=（a1，a2，…，an），即有

    λ1ia1+λ2ia2+…+λnian=bi，

    对矩阵（A，B）=（a1，a2，…，an，b1，…，bl）作初等列变换

    Cn+i-λliC1-…-λniCn=1，2，…，l），

    便把（A，B）的第n+l列，…，第n+l列都变为0，即

    因此

    R（A）=R（A，B）.

    定理6　设AB=C，则R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.

    证　因为AB=C，知矩阵方程AX=C有解X=B.

    由定理5知R（A，C）=R（A）. 而R（C）≤R（A，C），因此R（C）≤R（A）.

    又（AB）T=BTAT=CT，由上段证明知R（CT）≤R（BT），即R（C）≤R（B）

    综上便得R（C）≤min｛R（A），R（B）｝，

    n元齐次线性方程组

    方程组（3.7）可写成以向量x为未知元的向量方程

    Ax=0，

    （3.8）

    其中系数矩阵

    齐次线性方程组Ax=0总是有解的，x=0（即零解）总是它的一个解. 因此齐次线性方程组的解只有两种情况：①有唯一解（即只有零解）；②有无穷多解（即有非零解）.

    定理7　n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R（A）<n；而只有零解得充分必要条件是R（A）=n.

    定理7请读者自行证明.

    解齐次线性方程组Ax=0时，只需要对系数矩阵A施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，判断齐次线性方程组是否有非零解，在有非零解时，继续对系数矩阵施行初等行变换，化为行最简形矩阵，而后求出方程组的解.

    例3.15　求解方程组

    因R（A）=2<4，所以齐次线性方程组有非零解. 可得与原方程组同解的方程组

    取x2，x4为自由未知量，令x2=C1，x4=C2，得方程组的通解为

    由定理7可得下面两个推论：

    推论1　若齐次线性方程组Ax=0中方程的个数小于未知数的个数，则它必有非零解.

    推论2　n个方程n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数行列式|A|=0；而它只有零解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.

    定理7还可以推广到矩阵方程情形中.

    定理8　矩阵方程Am×nXn×l=Om×l只有零解的充分必要条件是R（A）=n.

    以上两个推论及定理8请读者自行证明.