投影变换概述

由 范文之家 分享时间：2022-10-28 14:24:44 加入收藏我要投稿点赞

投影变换概述

7.1　投影变换概述

通过前面的学习已经知道，当空间的直线和平面（一般指有限大小的平面图形）对投影面处于一般位置时，其投影只有相似性，不直接反映直线或平面的真实大小、度量和定位关系；但当它们处于投影体系中的特殊位置时，其投影就有实形性或积聚性，可直接真实地反映直线、平面等几何对象的尺寸度量和定位关系，如图7－1所示。

图7－1　处于可度量和定位位置的几何元素的投影

因此，若能把几何元素由一般位置改变成特殊位置，直线和平面的尺寸等的度量和定位问题就可直接通过其投影得以体现。画法几何中，将几何元素由一般位置变成特殊位置的方法主要有两种，一种称为变换投影面法，另一种称为旋转法。

7.1.1　变换投影面法

空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为变换投影面法，简称换面法。换面法的特点是能在新投影面与保留的原有投影面组成的新投影体系中解题，必要时还可将结果返回到原有的两投影面体系中去。

图7－2（a）为铅垂面△ABC在H和V面组成的两投影面体系（记作V/H体系）中的位置及投影。从图中不难看出，其H投影具有积聚性，同时H投影反映平面△ABC与投影面的倾角关系；而V投影只有相似性。两个投影均无实形投影，因而投影无法解决尺寸度量问题。为了解决尺寸度量问题，可以采用如图7－2（b）所示的换面法，取一个平行于△ABC且垂直于H面的V₁面来代替V面，则新的V₁面和保留的H面相交成新的投影轴X₁，构成一个新的两投影面体系V₁/H。△ABC平面在V₁/H体系中V₁面上的投影△a₁′b₁′c₁′就反映了平面△ABC的实形。再将V₁面绕新投影轴X₁旋转展开到与H面共面，从而得出△ABC在V₁/H体系中的投影图，如图7－2（c）所示。

图7－2　换面法示意图

显然，新投影面V₁是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新的投影面上的投影能够有利于解题，并且新投影面V₁和保留的H面仍要构成一个由两个相互垂直的投影面组成的两投影面体系，这样才能应用前面所讲述的正投影原理作图。因此，用换面法时，新投影面的选择必须符合下面两个基本条件。

（1）新投影面必须垂直于保留的投影面，以构成新的两投影面体系。

（2）新投影面必须处在对空间几何元素有利于解题的位置。

7.1.2　旋转法

投影面保持不动，使空间几何元素绕某一轴旋转到有利于解题的位置，然后找出其旋转后的新投影，这种方法称为旋转法。旋转法根据所设旋转轴位置的不同，可分为两种：一种是绕投影面垂直线为轴旋转，称为绕垂直轴旋转；另一种是绕投影面平行线为轴旋转，称为绕平行轴旋转。在此只介绍绕垂直轴旋转。

图7－3为铅垂面△ABC在三投影面体系中的位置和正投影图，其三个投影均无实形性，为了求得其实形投影，可以保持三个投影面不动，将△ABC绕过点B的铅垂线BM（因为△ABC是铅垂面，所以这条铅垂线BM一定是平面△ABC内的直线）旋转到与V面平行的位置，即旋转之后的△ABC就是一个正平面，它的V投影反映△ABC的实形，如图7－4所示。