剪应力互等定理剪切胡克定律

    5.2.3　剪应力互等定理剪切胡克定律

    1.纯剪切

    ①纯剪切:若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力，则称为纯剪切。纯剪切引起剪应变γ，如图5.2-3所示。

    

    

    图5.2-3

    ②剪应变γ:在剪应力作用下，单元体两相互垂直边间直角的改变量。单位为rad，无量纲。在材料力学中规定以单元体左下直角增大时，γ为正，反之为负。

    2.剪应力互等定理

    在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线(图5.2-3)，即

    

    3.剪切胡克定律

    当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即

    

    式中G为材料的剪切弹性模量。

    对各向同性材料，E、G、ν间只有二个独立常数，它们之间的关系为

    

    【例5.2-1】某接头部分的销钉如图5.2-4所示。试计算销钉的剪应力τ和挤压应力σ_bs。

    

    图5.2-4

    解:首先分析销钉的剪切面和挤压面面积。由图可见，销钉所受轴向拉力P将在钉头内形成一个高度为h=12mm、直径为d=32 mm的圆柱形剪切面和一个外直径为D=45mm、内直径为d₀=34 mm的环形挤压面。于是得

    

    由平衡条件得

    Q=P=100kN

    P_bs=P=100kN

    所以，剪应力

    

    挤压应力

    

    【例5.2-2】图5.2-5所示接头是由中间钢板(主板)通过上下两块钢盖板对接而成。铆钉与钢板材料相同，［τ］=130MPa，［σ_bs］=300MPa，［σ］=170MPa;铆钉直径d=20mm，主板厚度t₁=10mm，盖板厚度t₂=6mm，主、盖板的宽度b=200mm。若P=200kN，试校核该接头的强度。

    解:①校核铆钉的剪切强度。

    P力由主板传给铆钉，再由铆钉传给盖板。当铆钉直径相同，且外力作用线通过铆钉群截面的形心时，假设各铆钉的受力相同，则左侧铆钉的受力图如图5.2-5(b)所示。铆钉有两个剪切面。由平衡条件可得受剪面上的剪力

    

    

    

    图5.2-5

    剪切面面积

    

    ②校核铆钉的挤压强度。

    主板厚度小于两块盖板厚度之和，故应校核铆钉与主板之间的挤压强度，即

    

    ③校核主钢板的抗拉强度。

    画出左边主板的受力图和轴力图，如图5.2-5(c)所示。校核Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ截面的抗拉强度。

    对Ⅰ-Ⅰ截面:

    

    ④校核盖板的抗拉强度。

    盖板受力图和轴力图如图5.2-5(d)所示。由图可见Ⅱ-Ⅱ截面处轴力最大而截面积最小，故Ⅱ-Ⅱ截面为盖板的危险截面，应校核其抗拉强度。

    

    所以，接头强度足够。

    【例5.2-3】图5.2-6所示钢板对接接头，接头每边由两个铆钉铆接，钢板与铆钉材料均为Q235钢，已知材料的许用应力［σ］=160MPa，许用挤压应力［σ_bs］=320MPa，许用剪应力［τ］=120MPa，P=100kN，t=10mm，b=150mm，d=17mm，a=80mm。试校核此接头的强度。

    

    

    图5.2-6

    解:应保证铆钉与钢板均安全，所以分别对铆钉和钢板进行强度校核。

    (1)铆钉的强度校核

    铆钉受力图如图5.2-6(b)所示。因为P力通过铆钉群截面形心，且铆钉直径相同，故假设每个铆钉受力相等。所以单个铆钉受力为P/2。

    ①剪切强度计算。铆钉有两个受剪面m-m和n-n(图5.2-6(b))，由截面法可知每个剪切面上的剪力

    

    ②挤压强度计算。由图5.2-6(b)可见，铆钉中间段右侧面为危险挤压面，挤压力

    

    名义挤压面积

    

    (2)钢板的强度校核

    ①拉伸强度计算。钢板在通过铆钉孔中心处的横截面最小，其面积

    A=(b－2d)t=(150－2×17)×10=1160mm²

    按截面上应力均匀分布计算，则有

    

    ②挤压强度计算。中间层钢板铆钉孔壁的挤压力

    

    名义挤压面积

    A_bs=dt=170mm²

    

    ③剪切强度计算。当钢板上铆钉孔离边缘较近时，钢板有可能被剪断(图5.2-6(c))。图中共有四个剪切面，所以每个剪切面上的剪力

    

    剪切面积

    

    校核结果表明，该铆接头强度是足够的。

    分析与讨论:

    ①在铆钉联接计算中，当作用力P通过铆钉群截面形心，且铆钉直径相同时，假设各铆钉的受力相等。

    ②由作用与反作用原理知道，钢板对铆钉和铆钉对钢板的挤压应力是相同的。因而在钢板和铆钉的材料相同时，只需校核其一即可;在钢板和铆钉的材料不同时，只需校核许用挤压应力较小的构件。

    ③考虑钢板的横截面受铆钉孔的影响，对钢板的危险截面进行拉伸(压缩)强度计算时，不考虑铆钉引起的应力集中的影响，即假设正应力在危险截面上是均匀分布的。因此这也是一种近似性的实用计算。

    【例5.2-4】图5.2-7所示为凸缘联轴节，已知传递的转矩m=4kN·m，有4个螺栓分布在D=200mm的圆周上，螺栓的内径d₁=14.4mm，轴的直径d=80mm，键的尺寸b=20 mm，h=14mm，L=140mm。图中t=16mm，键和螺栓的许用剪应力［τ］=70MPa，许用挤压应力［σ_bs］=200MPa。试校核键和螺栓的强度。

    解:(1)键的强度校核

    ①校核剪切强度。键的受力如图5.2-7(d)所示，图中P力可由图5.2-7(c)中轴和键的平衡条件来计算，即∑m₀=0，则

    

    

    

    图5.2-7

    用截面法可求得剪力

    Q=P=100kN

    受剪面面积

    A=bL=20×140=2800mm²(见图5.2-7(f))

    则剪应力

    

    ②校核挤压强度。键所受的挤压力

    P_bs=100kN

    挤压面面积

    

    则挤压应力

    

    所以键的强度足够。

    (2)螺栓的强度校核

    ①校核剪切强度。设每个螺栓所受的剪力为Q'，则由图5.2-7(b)所示部分的平衡条件

    

    所以螺栓的剪应力

    

    ②校核挤压强度。螺栓的挤压力

    P_bs=P'=Q'=10kN

    如图5.2-7(g)和图5.2-7(h)所示。名义挤压面积

    A_bs=d₁t(见图5.2-7(i))

    则挤压应力

    

    所以螺栓的强度足够。

    分析与讨论:

    ①为了保证整个联接(联接件和被联接杆或板)的安全，必须根据整个联接的受力情况，全面考虑到联接可能发生的各种破坏现象，针对各种破坏形式进行强度计算。

    ②关于联接件的剪切、挤压强度计算，关键是掌握各种具体联接方式中联接件上所受的剪力、挤压力和受剪面积、挤压面积的计算。

    【例5.2-5】图5.2-8所示一托架。已知P=35kN，铆钉的直径d=20mm，铆钉受单剪，求最险的铆钉截面上剪应力大小及方向。

    

    

    图5.2-8

    解:①受力分析。

    因为P力不通过铆钉群截面形心，所以将力P向铆钉群截面形心简化，得一力

    P'=P=35kN

    及一力偶

    m=P×e=35×225×10^－3=7.875kN·m

    ②由于力P'通过铆钉群形心作用，每个铆钉受力相等，故每个铆钉的剪力

    

    ③由于力偶m作用，每个铆钉受力不等，其大小与该铆钉离铆钉群截面形心的垂直距离成正比，力的方向垂直于各铆钉截面形心与钉群形心间的连线，则由

    

    ④上述②、③两项计算中每个铆钉受到的两个力的合力即为每个铆钉的受力，显见铆钉1、4受力最大

    

    铆钉1的剪应力

    

    方向如图(c)所示。