土压力的种类及计算

    一、任务介绍

    在房屋建筑、铁路桥梁以及水利工程中，地下室的外墙，重力式码头的岸壁，桥梁接岸的桥台，以及地下室的侧墙等都支持着侧向土体。这些用来侧向支持土体的结构物，统称为挡土墙，如图5－1所示。而被支持的土体作用于挡土墙上的侧向压力，称为土压力。由于土压力是挡土墙的主要外荷载，它的计算正确与否对挡土墙的设计起着重要作用。本任务主要介绍土压力的种类及计算。

    二、理论知识

    1．土压力的种类

    土压力的计算是一个比较复杂的问题，它涉及填料、挡土墙及地基三者之间的相互作用，不仅与挡土墙的高度、结构形式、墙后填料的性质、填土面的形式及荷载情况有关，而且还与挡土墙的位移大小和方向及填土的施工方法等有关。根据挡土墙的位移情况和墙后土体所处的应力状态，可将土压力分为主动土压力、被动土压力和静止土压力，三者之间的关系见表5－1。

    图5－1 挡土结构物的类型

    表5－1 三种土压力的关系

    1）主动土压力

    当挡土墙在土压力作用下，向离开土体方向移动或转动时，随着位移量的增加，墙后土压力逐渐减小。当位移量达到某一微小值时，墙后土体开始下滑，作用在挡土墙上的土压力减至最小，墙后土体达到主动极限平衡状态。此时作用在墙背上的土压力称为主动土压力，用Ea表示，如图5－2（a）所示。多数挡土墙按主动土压力计算。

    2）被动土压力

    当挡土墙在外力作用下向墙背方向移动或转动时，墙将挤压土体，随着向后位移的增加，墙后土体对墙背的反作用力也逐渐增大。当达到某一位移量时，墙后土体开始向上隆起，作用在挡土墙上的土压力增加至最大，墙后土体达到被动极限平衡状态。这时，作用在墙背上的土压力称为被动土压力，用Ep表示，如图5－2（b）所示。例如，桥台受到桥上荷载的推力作用，作用在台背上的土压力可按被动土压力计算。

    3）静止土压力

    挡土墙在土压力作用下，墙后土体没有破坏，处于弹性平衡状态，不向任何方向发生位移和转动时，作用在墙背上的土压力称为静止土压力，以E0表示，如图5－2（c）所示。例如，地下室的侧墙、涵洞的侧墙、船闸的边墙及其他不产生位移的挡土构筑物，通常可按静止土压力计算。

    主动土压力和被动土压力是特定条件下的土压力，仅当墙有足够大的位移或转动时才会产生。另外，当墙和填土都相同时，产生被动土压力所需的位移比产生主动土压力所需的位移要大得多。

    图5－2 挡土墙上的三种土压力

    太沙基为研究作用于墙背上的土压力，曾作过模型试验。试验研究的结果表明，在相同的墙高和填土条件下，主动土压力小于静止土压力，而静止土压力又小于被动土压力，即Ea＜E0＜Ep。而且产生被动土压力所需的位移量Δδp比产生主动土压力所需的位移量Δδa要大得多。三种土压力与挡土墙的位移关系及它们之间的大小可用图5－3所示曲线表示。

    图5－3 土压力与墙身位移关系

    图5－4 静止土压力的分布

    2．土压力的计算

    1）静止土压力的计算

    作用在挡土墙背面的静止土压力可看作土体自重应力的水平分量，如图5－4（a）所示。在墙后填土中任意深度z处取一微小单元体，作用于单元体水平面上的压应力为竖向自重应力，作用于单元体竖直面上的压应力为水平自重应力，用σ0表示。

    σ0＝K0γz 　（5－1）

    式中：K0——土的侧压力系数，可按表5－2提供的经验值酌定；

    γ——墙后填土的重度，kN／m3；

    z——计算点在填土下面的深度，m。

    表5－2 K0的经验值表

    由式（5－1）分析可知，σ0沿墙高为三角形分布。若取单位墙长为计算单元，则整个墙背上作用的土压力E0应为土压力强度分布图形的面积。

    式中：E0——单位墙长上的静止土压力，kN／m。

    h——挡土墙高度，m。

    静止土压力E0的作用点在距墙底处，即三角形的形心处，如图5－4（b）所示。

    2）朗肯土压力理论

    朗肯（Rankine）土压力理论，是根据弹性半空间体内的应力状态和土体的极限平衡理论建立的，即将土中某一点的极限平衡条件应用到挡土墙的土压力计算中。朗肯土压力理论有如下假定：①挡土墙为刚体；②挡土墙的墙背垂直、光滑，从而保证垂直面内无剪应力，根据剪应力互等定理，水平面上也无剪应力；③墙后土体表面水平且无限延伸。

    这时，墙后填土中的应力状态与半空间土体中的应力状态一致，土体内的任意水平面和墙的背面均为主平面，作用在该平面上的法向应力即为主应力。朗肯根据墙后土体处于极限平衡状态（见图5－5），应用极限平衡条件，推导出了主动土压力和被动土压力计算公式。

    图5－5 朗肯极限平衡状态

    （1）朗肯主动土压力。

    如图5－5（a）所示，考察挡土墙后填土表面下深度z处的微小单元体的应力状态。易知作用在它上面的竖向应力为σz＝γz（γ为土体重度）。当挡土墙在土压力的作用下产生远离土体的位移时，作用在单元体上的竖向应力σz保持不变，而水平向应力σx逐渐减小，直至土体达到极限平衡状态。土体处于极限平衡状态时的最大主应力σ1＝σz＝γz，而最小主应力σ3＝σx＝σa（σa为主动土压力强度）。由土的强度理论可知，土体中某点处于极限平衡状态时，大主应力σ1和小主应力σ3之间应满足式（5－3）。

    其中σ3＝σx＝σa，σ1＝σz＝γz，令，则公式（5－3）可写成

    式中：σa——主动土压力强度，为主动土压力沿墙高的应力分布，kPa；

    Ka——主动土压力系数；

    c——填土的黏聚力，kPa。

    主动土压力合力Ea为主动土压力强度σa分布图形的面积，其计算公式为

    式中时的墙体高度，工程上也称为临界深度，m；

    φc——主动土压力增大系数，土坡高度小于5m时取1．0；5～8m时，取1．1；高度大于8m取1．2。

    主动土压力Ea作用点位置在其土压力强度σa分布图形面积（有阴影线的三角形）形心处，方向垂直于墙背，如图5－6所示。

    图5－6 朗肯主动土压力强度分布图

    （2）朗肯被动土压力。

    如图5－5所示，当挡土墙在外力作用下产生向着土体方向的位移时，作用在单元体上的竖向应力σz保持不变，而水平向应力σx逐渐增大，直至土体达到极限平衡状态。土体处于极限平衡状态时的最小主应力σ3＝σz＝γz，而最大主应力σ1＝σx＝σp（σp为被动土压力强度）。由土的强度理论可知，土体中某点处于极限平衡状态时，大主应力σ1和小主应力σ3之间应满足式（5－7）中的关系。

    其中σ3＝σz＝γz，σ1＝σx＝σp，令，则公式（5－7）可写成

    式中：σp——被动土压力强度，为被动土压力沿墙高的应力分布，kPa；

    Kp——被动土压力系数。

    被动土压力合力Ep为被动土压力强度σp分布图形面积，其计算公式为

    被动土压力Ep作用点位置在其土压力强度σp分布图形面积形心处，方向垂直于墙背，如图5－7所示。

    图5－7 朗肯被动土压力强度分布图

    3）库仑土压力理论

    库仑土压力理论是由法国学者库仑于1776年根据墙后滑动楔体的静力平衡条件建立的，该理论做了如下假定。

    ①挡土墙后土体处于极限平衡状态并形成一个滑动土楔体，其滑裂面为通过墙踵的平面。

    ②挡土墙后土体为均匀各向同性无黏性土。

    ③滑动土楔为刚体。

    图5－8 库仑主动土压力计算图

    （1）主动土压力计算。

    如图5－8所示，设挡土墙高为h，墙后填土为无黏性土（c＝0），填土表面与水平面的夹角为β，墙背材料与填土的摩擦角为δ。以墙后土楔体ABC为脱离体，如图5－8（a）所示，其重力为G， AB面上有正压力及向上的摩擦力所引起的合力Ea（在法线以下），AC面上有正压力及向上的摩擦力所引起的合力R（在法线以下）。土楔体在G、Ea、R三个力的作用下处于静力平衡状态，如图5－8（b）所示。由力三角形的正弦定理可得

    从上式可知，Ea是滑裂面倾角θ的函数，不同的θ可求出不同的Ea，由＝0可求出Eamax相应的θ角，该角所对应的滑裂面为最危险滑裂面。将求出的滑裂角θ和重力G＝γVABC代入式（5－11）中，即可求出墙高为h的主动土压力计算公式如下。

    则式（5－12）可写成如下形式。

    式中：Ka——主动土压力系数，按公式计算或者查图表；

    α——墙背与水平面的夹角；

    β——墙后填土面的倾角；

    δ——填土对挡土墙的摩擦角，可查表5－2确定；

    φc——主动土压力增大系数，土坡高度小于5m时取1．0；5～8m时，取1．1；高度大于8 m取1．2。

    当墙背垂直（α＝90°），并且光滑（δ＝0），以及填土表面水平（β＝0）时，式（5－12）变为

    可见，此情况下库仑主动土压力公式和朗肯主动土压力公式相同。

    为求得沿墙高z变化的主动土压力强度σa，可将式（5－13）主动土压力合力Ea对深度z取导数，得

    由上式可知，σa沿墙高呈三角形分布，如图5－8（d）所示。Ea为土压力强度分布图形面积，作用点在三角形形心处，方向与墙背法线逆时针成δ角。

    （2）被动土压力计算。

    图5－9 库仑被动土压力计算图

    如图5－9所示，挡土墙在外力的作用下向后移动或转动，墙后填土受挤压后体积变小，当达到极限平衡状态时，出现滑裂面BC，此时土楔体ABC向上滑动。土楔体在自重G、反力R和Ep的作用下处于静力平衡状态，R和Ep的方向都分别在AC和AB法线的上方。按上述求主动土压力相同的方法可求出被动土压力库仑公式如下。

    式中：Kp——库仑被动土压力系数，其余符号意义同前所述。

    当墙背垂直（α＝90°），并且光滑（δ＝0），以及填土表面水平（β＝0）时，式（5－15）变为可见，此情况下库仑被动土压力公式也和朗肯被动土压力公式相同。

    被动土压力强度σp可按式（5－17）计算。

    被动土压力强度σp沿墙高呈三角形分布，方向如图5－9（c）所示，Ep为土压力强度分布图形面积，作用点在三角形形心处。

    4）特殊条件下的土压力计算

    这里主要介绍挡土墙在几种特殊情况下的主动土压力计算。

    （1）填土表面有均布荷载。

    ①填土表面有连续均布荷载。

    当墙后填土表面有连续均布荷载q作用时，填土面下深度为z处的竖向应力为σz＝q＋γz＝σ1，水平向应力σx＝σa＝σ3。主动土压力强度计算公式应为

    由上式计算出挡土墙在土层上下层面处受到的土压力强度，绘出土压力强度分布图，其合力为分布图形面积，合力作用线通过土压力分布图的形心，如图5－10所示。

    ②填土表面有局部均布荷载。

    当墙后填土表面有局部均布荷载作用时，其对土压力强度附加值σaq，可由朗肯土压力理论求得

    σaq＝q Ka 　（5－20）

    其分布范围可按图近似处理，即从均布荷载两端点各作一条直线，都与水平面成角，交墙背于c、d两点，则墙背cd一段范围内受σaq的作用。这时作用在墙背的土压力分布图形如图5－11所示。

    图5－10 无黏性土表面有连续均布荷载

    图5－11 无黏性土表面有局部均布荷载

    （2）墙后填土分层。

    当墙后填土为成层土时，可先求出填土面下深度z处的竖向自重应力，再根据朗肯土压力理论计算主动土压力强度，如图5－12所示。

    图5－12 成层填土的土压力计算

    图5－13 填土中有地下水的土压力计算

    （3）墙后填土有地下水。

    当墙后填土中出现地下水时，土体抗剪强度降低，墙背所受到的总压力由土压力与水压力共同组成，墙体稳定性受到影响。

    在计算土压力时假定水上、水下土的φ、c、δ均不变，水上土取天然重度，水下土取有效重度进行计算。

    总侧压力为土压力和水压力之和，如图5－13所示。

    三、任务实施

    【例5－1】 某挡土墙高5m，墙背直立光滑，填土表面水平。填土重度γ＝17kN／m3，内摩擦角φ＝20°，黏聚力c＝8kPa，试求该墙的主动土压力及其作用点的位置，并绘出土压力强度分布图。

    【解】 墙背直立光滑，填土表面水平，满足朗肯土压力理论的条件。

    先求主动土压力系数Ka＝tan2

    求临界深度

    主动土压力为σa分布图形的面积为

    合力作用点位置距墙底　（5－1．34）m＝1．2m

    土压力强度分布图如图5－14所示。

    图5－14 例5－1图

    图5－15 例5－2图

    【例5－2】 挡土墙高5m，墙背倾斜角α＝70°，填土面坡角β＝15°，填土为砂土（c＝0），γ＝18kN／m3，φ＝30°，填土与墙背的摩擦角，求主动土压力Ea，并画出土压力强度分布图形。

    【解】 用库仑理论先求主动土压力系数

    将α＝70°，β＝15°，δ＝φ代入上式求出

    将Ka代入公式（5－13）得

    土压力合力作用点在距墙底m＝1．67m处，方向如图5－15所示。

    【例5－3】 某挡土墙高5m，墙背垂直、光滑，填土面水平。墙后填土重度为18kN／m3，c＝5kN／m2，φ＝20°，在填土表面作用q＝5kN／m2的连续均布荷载。求主动土压力Ea，并画出σa分布图。

    【解】 ①先根据朗肯理论求主动土压力系数。

    ②求临界深度。

    ③求墙底处主动土压力强度σa。

    ④求主动土压力Ea。

    主动土压力作用点距离墙底m＝1．49m处，如图5－16所示。

    图5－16 例5－3图

    【例5－4】 挡土墙高6m，墙背直立光滑，填土表面水平，墙后填土共两层，已知条件如图5－17所示，求主动土压力Ea，并绘出σa分布图。

    图5－17 例5－4图

    【解】 计算第一层填土的主动土压力系数

    计算第二层填土的主动土压力系数

    主动土压力Ea的作用点在主动土压力强度σa分布图形形心处，方向垂直于墙背。σa的分布图如图5－17所示。

    【例5－5】 如图5－18所示，挡土墙高5m，墙背垂直光滑，填土表面水平。内摩擦角φ＝30°，黏聚力c＝0，重度γ＝18kN／m3，γsat＝20kN／m3。其中，γ′＝10kN／m3，γw＝10kN／m3。求挡土墙的总侧向压力。

    【解】 ①求土压力。

    以地下水位线为分界面将填土分为两层，主动土压力强度

    主动土压力 Ea＝1．1××18×3＋［（18＋24．7）］×2kN／m＝76．7kN／m

    ②求水压力。

    水压力强度 　σω＝γωhω＝10×2kPa＝20kPa

    水压力　

    ③求总侧向压力。

    p＝Ea＋pω＝（76．7＋20）kN／m＝96．7kN／m

    图5－18 例5－5图

    四、任务小结

    （1）土压力的类型 根据挡土墙的位移情况，土压力分为静止土压力、主动土压力和被动土压力。

    （2）朗肯土压力理论 以研究墙后填土中某一点的应力状态为出发点，借助极限平衡方程推导出极限应力的理论解。其特点是概念明确、计算公式简便。

    （3）库仑土压力理论 以研究墙后无黏性土滑动楔体上的静力平衡为出发点，推导出作用在墙背上的主动或被动土压力的计算理论。

    （4）特殊情况下的土压力计算 在实际工程中，经常遇到一些特殊情况，如填土面有均布荷载、墙后填土分层、墙后有地下水等，在计算土压力时需要充分考虑。

    五、拓展提高

    朗肯土压力理论和库仑土压力理论都是研究土压力问题的简化方法。它们各有其不同的基本假定、分析方法和适用条件。

    1．分析方法的异同

    （1）相同点：朗肯理论和库仑理论均属于极限状态土压力理论。用这两种理论计算出的土压力均为墙后土体处于极限平衡状态下的主动土压力Ea和被动土压力Ep。

    （2）不同点：朗肯理论从土体中一点的极限平衡状态出发，由处于极限平衡状态时的大小主应力关系求解（极限应力法）；库仑理论根据墙背与滑裂面之间的土楔处于极限平衡，用静力平衡条件求解（滑动楔体法）。

    2．适用条件的异同

    1）朗肯理论的适用条件

    根据朗肯理论推导的公式，作了必要的假设，因此有一定的适用条件，具体如下。

    （1）填土表面水平（β＝0），墙背垂直（α＝0），墙面光滑（δ＝0）的情况。

    （2）墙背垂直，填土表面倾斜，但倾角β＞φ的情况。

    （3）地面倾斜，墙背倾角α＞（45°－φ／2）的坦墙。

    （4）L型钢筋混凝土挡土墙。

    （5）墙后填土为黏性土或无黏性土。

    2）库仑理论的适用条件

    下述情况宜采用库仑理论计算土压力。

    （1）需考虑墙背摩擦角时，一般采用库仑理论。

    （2）当墙背形状复杂，墙后填土与荷载条件复杂时。

    （3）墙背倾角α＜（45°－φ／2）的俯斜墙。

    数解法一般只用于无黏性土，图解法则对于无黏性土或黏性土均可方便使用。

    3．与实测土压力的关系

    朗肯土压力理论应用弹性半空间体的应力状态，根据土的极限平衡理论推导和计算土压力。其概念明确，计算公式简便，但由于假定墙背垂直、光滑，以及填土表面水平，使计算条件和适用范围受到限制，计算结果与实际有出入，所得主动土压力值偏大，被动土压力值偏小，其结果偏于安全。

    库仑土压力理论假定滑动面是平面，而实际的滑动面常为曲面，只有当墙背倾角α不大，墙背近似光滑，滑动面才可能接近平面，因此计算结果存在一定的偏差。根据试验和现场观测资料表明，计算主动土压力时偏差约为2％～10％，可认为能够满足工程精度要求；但对计算被动土压力时，由于破坏面接近于对数螺线，计算结果误差较大，甚至比实测值大2～3倍。

    六、拓展练习

    1．静止土压力的墙背填土处于哪一种平衡状态？它与主动、被动土压力状态有何不同？

    2．挡土墙的位移及变形对土压力有何影响？

    3．分别指出下列变化对主动土压力和被动土压力各有什么影响？

    （1）内摩擦角φ变大；（2）外摩擦角δ变小；（3）填土面倾角β增大；（4）墙背倾斜（俯斜）角α减小。

    4．为什么挡土墙墙后要做好排水设施？地下水对挡土墙的稳定性有何影响？

    5．试阐述主动、静止、被动土压力的定义和产生的条件，并比较三者的数值大小。

    6．库仑土压力理论的基本假定是什么？

    7．比较朗肯土压力理论和库仑土压力理论的基本假定及适用条件。

    8．在哪些实际工程中，会出现主动、静止或被动土压力的计算？试举例说明。

    9．某挡土墙高6m，墙背竖直光滑，填土面水平，并作用有连续的均布荷载q＝15kPa，墙后填土分两层，其物理力学性质指标如图5－19所示，试计算墙背所受土压力分布、合力及其作用点位置。

    图5－19 习题9图

    图5－20 习题10图

    10．某挡土墙高4m，墙背倾斜角α＝20°，填土面倾角β＝10°，填土重度γ＝20kN／m3，φ＝30°，c＝0，填土与墙背的摩擦角δ＝15°，如图5－20所示。试按库仑理论求：（1）主动土压力大小、作用点位置和方向；（2）主动土压力强度沿墙高的分布。