最小势能原理

    2.3.2　最小势能原理

    物体的势能Π_p定义为物体的应变能U与外力势V之差，即

    Π_p＝U－V　　　　　　　　　　　　　　　（2－75）

    

    式（2－77）中右端第1项为集中力F的势；第2项为体积力｛q｝的势；第3项为面力｛p｝的势；S_σ为面力作用的表面；｛r_b｝为表面S_σ上的位移；为给定的面力。

    最小势能原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足平衡条件的位移使物体势能取驻值，即

    δΠ_p＝δU－δV＝0

    对于线性弹性体，势能取最小值，即

    δ²Π_p＝δ² U－δ² V≥0

    最小势能原理可用虚位移加以证明。设物体产生了虚位移δ｛r｝＝δ［u v w］^T，相应的虚应变为δ｛ε｝，整个物体的虚应变能为

    

    把｛σ｝＝［D］｛ε｝代入上式，得到

    

    由式（2－76）可知，上式右端等于应变能的一阶变分。同理，由式（2－77）可知，外力在虚位移δ｛r｝上所做虚功等于外力势的一阶变分δV，根据虚位移原理δU－δV＝0，所以有

    δΠ_p＝0

    利用最小势能原理，可以求出单元刚度矩阵及结点载荷。

    虚位移原理与最小势能原理在本质上是相同的，虚位移原理应用较方便，但由最小势能原理可以判断解的收敛性及解的下限性质（其值将小于精确解）。

    提示：按最小势能原理求解时，也必须先假定单元位移函数。这些位移函数是连续的，但却是近似的。从物体中取出的一个单元，作为连续介质的一部分，本来具有无限个自由度，在采用位移函数以后，只有以结点位移表示的有限个自由度，位移函数对单元的变形能力有所限制，使单元的刚度增加了，物体的整体刚度也随之增加，因此计算的位移近似解将小于精确解。（有限元解的下限性质解释）