§2.3 一致连续性
一、一致连续的概念
1．一致连续的定义
设I是一个区间（有限、无限、开、闭、半开半闭等皆可），f（x）是定义于I上的函数。若∀ε>0，∃δ>0，当x′，x″∈I，且｜x′－x″｜<δ时，有｜f（x′）－f（x″）｜<ε，称f（x）为I上的一致连续的函数。
2．不一致连续的叙述
｜f（x′n）－f（x″n）｜≥ε0
等价表叙：存在二个点列｛x′n｝，｛x″n｝⊂I，满足x′n－x″n→0（n→∞），但是。
二、一致连续的判定（充分条件）
1．Cantor定理 闭区间上连续的函数一定一致连续。
思考：反之如何？当（a，b）为有限区间时正确，否则不一定。）
3．若f在I上可导且导函数有界，或者f满足Lipschitz条件：∀x′，x″∈I，｜f（x′）－f（x″）｜≤L｜x′－x″｜，L为某常数，则f一定一致连续。
三、一致连续函数的运算（四则运算和复合）
1．两个一致连续函数的复合函数仍一致连续。（具体如何表述和证明？）
但是两个都是定义于I上的有界一致连续函数的乘积是否一致连续？或I是有限区间时，自然，一个一致连续，另一个不一致连续，则其和一定不一致连续，其积又如何？试对周期函数作同样的思考：两个周期函数和是不是仍为周期函数？
关于一致连续性的题目，大致有如下三类题型：
题型Ⅰ 证明具体函数的一致连续性或不一致连续性。
题型Ⅱ 证明抽象函数的一致连续性。
题型Ⅲ 一致连续性质的应用。
下面分别举例说明。
证明 ∀ε>0，取δ＝ε2，∀x′，x″≥0且｜x′－x″｜<δ时
例2 证明f（x）＝sin3x＋sinx3在R上不一致连续。
例3 周期连续函数的一致连续性。
设f（x）是周期为T的连续函数，则f（x）必在R上一致连续。
分析 ∀ε>0，寻求δ>0，st只要x′，x″满足｜x′－x″｜<δ，就有
｜f（x′）－f（x″）｜<ε
x′和x″很接近，有两种情形：处于同一个周期段或分处相邻两个周期段。
证明 因为f∈C［0，2T］，所以f亦在［0，2T］上一致连续
∀ε>0，∃δ>0，∀x′，x″∈［0，2T］且｜x′－x″｜<δ，就有
｜f（x′）－f（x″）｜<ε
现任取两点x，y，满足｜x－y｜<δ，不妨认为x<y
情形（i）：x，y同处一个周期段［nT，（n＋1）T］
则x＝nT＋x1，y＝nT＋y1，且｜x1－y1｜＝｜x－y｜<δ，x1，y1∈［0，T］，于是
｜f（x）－f（y）｜＝｜f（x1）－f（y1）｜<ε
情形（ii）：x，y分处两个相邻周期段，x＝nT＋x1，y＝（n＋1）T＋y2，则
｜x1－（T＋y2）｜＝｜x－y｜<δ，且x1，T＋y2∈［0，2T］
类似有
｜f（x）－f（y）｜＝｜f（x1）－f（T＋y2）｜<ε
据此结论立知，f（x）＝sin3x＋sinx3必不是周期函数，sinx3也不是周期函数。
思考题：R上非常值连续周期函数必有最小正周期。
1° f（x）≡C，则f是没有最小正周期的连续的周期函数。
2° 没有最小正周期的非常值周期函数一定是间断的。
反证法思路：若没有最小正周期，设有一组正周期Tn（n≥1），且Tn→0。
又设x1是f（x）的一个最大值点，x2是f（x）的一个最小值点，且f（x1）>f（x2）。由周期性∀n，x1＋Tn皆是f的最大值点，x2＋Tn皆是f的最小值点。记A1为f（x）的所有最大值点组成的集合，A2为f的最小值点组成集合。∀x0∈R，∀δ>0，在邻域U（x0；δ）之中必有A1中异于x0的点，（因为Tn→0）如x0属于A1的闭包，所以A1的闭包等于R。
或思路：设f不恒为常数，f（x1）＝M，f（x2）＝m，且M－m>0
（存在一组正周期Tn，stTn→T0，此为下确界的含义）
例4 设函数f（x）在［a，＋∞）上连续，且有渐近线l：y＝cx。证明f一致连续。
证法一 ∀x′，x″≥a，当｜x′－x″｜<δ时，能否｜f（x′）－f（x″）｜<ε？
在任何有限区段上，f（x）显然是一致连续的，关键处理无穷远点。
∀ε>0，∃X>0，当x≥X时，｜f（x）－cx｜<ε／3（渐近线）
分段技术：［a，X］∪［X，＋∞）
（1）f∈C［a，X］，故一致连续，∃δ1>0，当x′，x″∈［a，X］且｜x′－x″｜<δ1时，｜f（x′）－f（x″）｜<ε。
（2）当x′，x″>X时，｜f（x′）－f（x″）｜≤｜f（x′）－cx′｜＋｜c｜｜x′－x″｜＋｜f（x″）－cx″｜
（3）当x′<X，x″≥X时，
｜f（x′）－f（x″）｜≤｜f（x′）－f（X）｜＋｜f（X）－f（x″）｜
综合之，对于ε>0，取δ＝min｛δ1，δ2｝，即符合要求。
由条件，不妨限定x∈［0，1］，∀ε>0，∃N＝N（ε，x），当n>N时
｜f（x＋n）｜<ε
注意N跟x有关，未必存在一个适用于所有x∈［0，1］的N。
思考：若没有一致连续的条件，结论未必成立，反例如下：
图2-1
现对于任意的x>N＋1，不妨设n0＝［x］，则n0≤x<n0＋1
注 思路重于表达，透过解题步骤，看透解题的思想是至关重要的。对一个命题，还应有多角度的发掘，知其然又知其所以然。
例6 设f（x）在R上一致连续，则∃常数A和B>0，使得
｜f（x）｜≤A｜x｜＋B（x∈R）
证明 对ε0＝1，∃δ>0，st｜x1－x2｜≤δ时，｜f（x1）－f（x2）｜≤1，特别，
｜f（δ）－f（0）｜<1，｜f（2δ）－f（δ）｜<1，…，
｜f（nδ）－f（n－1）δ｜<1
由三角不等式得
注 思考一致连续和有界的关系，有限区间上，一致连续⇒有界；
习题2.3
2．证明y＝xsinx在［0，＋∞）上不一致连续。（两个一致连续函数的乘积）
3．设f（x）定义于R上且在原点连续，∀x，y，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），证明f（x）在R上一致连续（事实上f（x）＝λx）。
（兰州大学）
6．设f（x）∈C［a，∞）且有界，证明∀T，∃｛xn｝，xn→∞，使得
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