速度环量与旋涡强度

速度环量与旋涡强度_工程流体力学(Ⅱ

    

    1.速度环量

    

    2.旋涡强度

    

    速度矢量的旋度为涡量。涡量是个矢量，记为Ω。由式（7.5）知，ω=（▽×v）/2，因此涡量可以被表示为

    

    3.斯托克斯（Stokes）定理

    如果A是封闭曲线L所围的单连通区域，n是面积A的法向单位矢量，R是区域中的任意空间矢量，数学中斯托克斯定理给出线积分与面积分的关系式如下：

    

    速度矢量v是空间矢量，由斯托克斯定理以及速度环量和旋涡强度的定义可以得到以下关系式：

    

    也就是说，沿封闭曲线L上的速度环量Γ与所围单连通区域A上的旋涡强度I之间具有等量关系。斯托克斯定理中的A可以是平面面积，也可以是空间曲面面积，如图7-8所示。

    

图7-8 沿空间曲面边界的速度环量

    根据斯托克斯定理，可以通过计算速度环量来确定面积上的旋涡强度，在很多情况下这可以使相关计算更为方便。从数学角度看，速度环量是速度的线积分，旋涡强度是速度偏导数的面积分，相比之下，速度环量Γ更易于计算；在实际研究中，要计算速度环量Γ只需测量流场中曲线L上的速度分布，要计算旋涡强度I则必须测量整个面积A上的速度分布。

    当流动无旋时，流场中所有点的旋转角速度矢量ω都等于零，所以流场中任意面积上的旋涡强度等于零，由斯托克斯定理知，此时绕单连通区域内任意封闭曲线的速度环量也等于零。