多元线性回归预测方法简介

    本书主要采用时间序列预测法计算并预测旅游市场的发展趋势。 时间序列预测法是采用预测目标的历史信息数据， 运用统计方法分析变量之间的发展变化过程的规律性，从而推测研究目标值的方法［40］。本书针对市场类型分析，采用回归分析对旅游产业的未来趋势进行市场预测， 以期获得较为精确的预测数值。

    回归分析是一种数理统计方法， 它根据客观事物中诸多因素相互联系、 相互制约的特点， 通过对已掌握的大量实际数据的分析， 发现数据变化的规律性， 找出变量中的相互依存关系。 由于产业需求发展变化是由多种影响因素组成的， 而各影响因素间同时存在一定的依存关系， 因而预测产业未来需求趋势非常重要［41］。

    （一） 基本原理与公式

    设影响因素y的解释变量共有p个，即x1，x2，…，xp，变量之间无确定的线性关系； 设预测变量y与这些解释变量之间有线性的统计关系， 则多元线性回归模型为：

    y＝b0＋b1x1＋b2x2＋…＋bpxp＋e，其中bi（i＝0，1，…，p） 为回归系数，e为随机误差项。

    若取n组数据（x1i，x2i，…，xpi；yi）（i＝1，2，…，n），则这n组统计数据的机构为：

    故有：y1＝b0＋b1x1i＋b2x2i＋…＋bpxpi＋ei（i＝1，2，…，n），进行如下假设：

    （1）ei～N（0，σ2），且cov（ei，ej）＝0（i≠j，i＝1，2，…，n）；

    （2） 解释变量xi（i＝1，2，…，p）与随机项ej（j＝1，2，…，n）不相关，也就是cov（ei，ej）＝0。

    当以上假定得到满足时，便可得到如下的多元线性回归模型，即，y＝b0＋b1x1＋b2x2＋…＋bpxp，式中b0是常数项：bi（i＝1，2，…，p）是y对xi的回归系数的估计值。

    估计值b0，b1，…，bi可用最小二乘法确定，即使达到极小值。上式子分别对b1，b2，…，bp求导， 并分别令其为：

    进行化简， 可得到：

    由此式第一个式子可得：

    其中

    将b0代入公式中的其他方程，化简后可得方程组：

    其中

    解出方程，可得b1，b2，…，bp，因而，多元线性回归方程为：

    y＝b0＋b1x1＋b2x2＋…＋bpxp

    （二） 回归模型的检验

    在分析多元回归时， 需检验回归模型的显著性， 包括回归方程的系数以及方程的整体相关性。从而确保预测值y与各个影响因素xi（i＝1，2，…，p） 之间是否存在线性相关关系，以及每个因素xi对因变量y的实际影响。

    1.可决系数R2的检验

    可决系数（R2） 是衡量多元回归拟合优度的度量指标，表示因变量y中被回归模型解释的部分对y的总离差之比， 计算公式为：

    其中，y为实际观测值，为y的平均值。可知Q残越小，R2值越接近1，则表示回归方程对数据拟合得越好， 估计方程置信度越高。

    2. 回归模型的检验

    在判断因变量与自变量之间的关系时， 不能确定是否线性相关， 在求回归模型时， 线性回归只是一种假设。 因此， 还需要进行F检验。

    如果因变量y与所有的变量x1，x2，…，xp之间存在线性关系，一般Q残数值小，U回数值较大， 则可说明回归效果较好。 F统计量检验法通过F ＝

    的大小衡量y与所有自变量x1，x2，…，xp之间是否存在线性相关。该比值服从自由度为（p，n-p-1） 的F分布， 其中p称为第一自由度， 代表的是回归方程中自变量的个数；（n-p-1） 称为第二自由度。

    当取定显著水平为α时，查F分布表，得到Fα（n-p-1）值。若F＞Fa（n-p-1），则认为y与所有变量x1，x2，…，xp之间线性关系较密切，则认为所构造的线性回归方程具有显著意义， 可预测目标值。 若某一个自变量对y的作用不显著，则在回归模型中，变量前面的系数bi就为0。可采用检验回归系数的方法来判断某个自变量xi对y是否有显著性的作用。

    回归系数显著性检验 （t检验） 步骤如下：

    （1）计算剩余标准差S，，其中Q残为残差平方和， ；

    （2）计算的值；

    Cij是系数矩阵的逆矩阵L-1的i行j列元素 （i， j＝1， 2， …， p）；

    （3）计算统计量ti的值，可证明，ti服从自由度为（n-p-1） 的t分布。

    （4） 给定显著水平α，查t分布表，可得t （n-p-1） 的值；

    （5）判断。弱，则认为回归系数bi对应的xi对y有显著影响；否则，应把xi去掉，重新建立回归方程。