皮克定理的另类证法和出人意料的应用

    

    图1中的每个小正方形面积都是1，那么图中的三角形面积是多少？

    图1

    你会发现，传统的三角形面积计算公式（底乘以高除以2）在这里已经不管用了。三角形的三边长度都带有根号，高的长度更难求出。计算三角形面积还有一个常用的公式，叫做海伦（Heron）公式：如果三角形的三边长分别为a、b、c，周长的一半为s，则其面积等于。用这种方法倒是能算出三角形的面积，不过运算过程过于复杂，并不可取。能否把三角形剪剪拼拼，割补成一个更规则的图形呢？多试几下，好像也是办不到的。种种失败似乎暗示着，这个三角形的面积并不那么好求，它恐怕是一个非常复杂的代数式吧。

    其实，这个三角形的面积值是一个非常简单的数——3.5。还记得上一节讲到的三角形面积叉积计算法吗？把三角形中左下角的那个顶点当作原点，套用公式我们可以立即算出，三角形的面积就是，也就是3.5。其实，我觉得，连这种方法都复杂了。稍稍换一个角度，我们还有一个简单得你都不敢相信的算法。

    如图2，整个三角形完全包含于一个面积为9的大正方形内。减去直角三角形A的面积3，减去直角三角形B的面积1.5，再减去直角三角形C的面积1，就得到了我们要求的三角形面积，它等于3.5。

    图2

    1899年，奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克（Georg Alexander Pick）发现，不止是三角形，对于平面上的任意一个多边形，只要它的每个顶点都在单位正方形网格的“格点”上，它的面积都有类似的巧算方法。皮克沿着这个思路进一步推导，得出一个超级简单的面积计算公式：令I 等于多边形内部所含的格点数，令B等于多边形边界上的格点数，则多边形的面积就是。这就叫做皮克定理。

    在这里，我们舍弃复杂的分类讨论和数学归纳法，用一种全新的方法来证明这个结论。假设整个平面是一个无穷大的铁板，每个格点上都有一个单位的热量。经过无穷长时间的传导后，最终这些热量将以单位密度均匀地分布在整个铁板上。平面上某个多边形内所含的热量，也就代表它的面积了。下面我们试着求出多边形内的热量。考虑多边形的任意一条线段，如图3所示（有觉得图3中的这条线段不直吗？那是你的错觉）。由于它的两个端点均在格点上，因此整个平面网格一定关于这条线段的中点对称，因而流经该线段的热量也就是对称的，这半边流出去多少，那半边就流进来多少，出入该线段的热量总和实际为 0。我们立即看到，多边形的热量其实完全来自于它内部的I 个格点（的全部热量），以及边界上的B个格点（各自在某一角度范围内传来的热量）。边界上的B个点形成了一个内角和为（B-2）×180°的B边形。这B个点本来蕴含了B个单位的热量，但只有其中的这一比例的热量流入了多边形。因此，从这B个点流入多边形的热量就等于。再加上I 个内部格点的全部热量，于是得到多边形内的总热量（也就是它的面积）就是。

    图3

    计算“格点多边形”的面积就是这么简单，不信的话，让我们来试试。例如，图4中的第一个多边形，它的内部没有点，边界上有4个点，因此面积就是。第二个多边形的形状虽然不一样，但内部也没有点，边界也经过了4个点，因此面积也是。第三个图形的边界上也有4个点，但内部包含了一个点，因此其面积就是。回头看看本节最早画出的那个三角形，面积就是，也就是 3.5了。需要注意的是，皮克定理只适用于所有顶点都在格点上的多边形，其他情况是不能套用皮克定理的。

    图4

    皮克定理有很多有趣的推论。例如，由皮克定理立即可知，格点多边形的面积一定是1/2的整数倍。而这又可以推出，等边三角形的三个顶点不可能都在格点上，也就是说你永远不可能找出三个格点，它们恰好组成一个等边三角形。这是因为，假如等边三角形的边长为s，可以求出其面积为，但由勾股定理可知，两个格点间的连线长度的平方一定是一个整数，即s²一定是整数，从而一定是无理数，这与格点多边形的面积是1/2的整数倍相矛盾。

    另一个有趣的推论是，在一个m×n的点阵中画一条经过所有点恰好一次的回路，得到的多边形面积一定是相同的。举例来说，图5中的三个多边形，哪一个面积最大？利用皮克定理便能立即看出，它们是一样大的。因为它们都是4×4点阵中的格点多边形，并且所有 16 个格点都用在了多边形边界上，内部显然不可能再有格点了，所以它们的面积都是。

    图5

    皮克定理还有一些更精彩的推论。考虑平面直角坐标系中的直线x﹢y＝n，其中n是一个质数。这条直线将恰好通过第一象限里的n-1个格点（如图6，图中所示的是n＝11的情况）。将这n-1个点分别和原点相连，于是得到了n-2个灰色的三角形。仔细数数每个三角形内部的格点数，你会发现一个惊人的事实：每个三角形内部所含的格点数都是一样多的。这是为什么呢？

    图6

    借助皮克定理，我们能得到一个漂亮的解释。首先，假如正整数x和y有一个公因数d，也就是说x和y都是d的倍数，那么显然x﹢y就也是d的倍数。反过来，如果x﹢y是一个质数，这就表明x和y不可能有公因数，换句话说x和y是互质的。也就是说，点（x，y）和原点的连线不会经过其他格点。因此，所有灰色三角形边界上都只有 3 个格点（即三角形的三个顶点），不会再经过其他格点。另外，注意到所有灰色三角形都是等底等高的，因此它们的面积都相等。既然所有三角形的面积都相等，边界上的格点数也相等，由皮克定理可知，每个三角形内部的格点数也都相等了。

    一个东西最出神入化的运用还是见于那些本来与它毫不相干的地方。在数论中，法里（Farey）序列是指把0到1之间的所有分母不超过n的最简分数从小到大排列起来所形成的数列，我们把它记作F_n。例如，F₅就是

    法里序列有一个神奇的性质：前一项的分母乘以后一项的分子，一定比前一项的分子与后一项的分母之积大1。更不可思议的是，这竟然可以用皮克定理来解释！

    图7

    把每一个介于0和1之间并且分母不超过n的最简分数都标记在平面直角坐标系上，例如0/1就对应点（1，0），1/5就对应点（5，1）。一个分数的大小，也就直观地反映为对应的标记点与原点连线的倾斜程度：倾斜程度越小，分数值越小；倾斜程度越大，分数值也就越大。现在，考虑一条以原点为端点的射线从x轴正方向出发逆时针慢慢转动到y轴正方向，这条射线依次扫过的标记点正好就是一个法里序列。考虑这根射线扫过的两个相邻的标记点，它们与原点所组成的三角形面积是多少呢？我们试着用皮克定理来计算。由于所有分数都是最简分数，也就是说它们的对应点的横纵坐标是互质的，因此它们与原点的连线上没有其他格点；又因为这是射线扫过的两个相邻标记点，因此三角形内部以及这两个标记点的连线上也都没有任何格点。可见，除了边界上的三个顶点外，三角形上再无其他格点了。因此，射线扫过的两个相邻点，与原点组成的三角形面积一定是。另外别忘了，上一节还讲到了三角形面积的叉积计算法，（a，b）和（c，d）两个点与原点组成的三角形面积应该为。于是，对于法里序列的两个相邻分数b/a和d/c，我们有，即ad-bc＝1。

    我们竟然用几何手段，证明了一个与几何毫无关系的数论定理！别吃惊，稍后大家还会看到一个几何定理的数论证法。