定义1．19 设α1，α2，…，αn，β都是命题公式。若（α1∧α2∧…∧αn）→β是重言式，则称由前提α1，α2，…，αn推出β的推理是有效的或正确的，并称β是α1，α2，…，αn的有效结论或逻辑结果，记为α1∧α2∧…∧αn⇒β或α1，α2，…，αn⇒β，记号α1∧α2∧…∧αn⇒β也称为重言蕴含或推理形式。
推理过程中常用的几条推理规则如下。
1．前提引入规则（P）
在推理过程中，可以随时引入已知的前提。
2．结论引用规则（T）
在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的前提引用。
3．置换规则（R）
在推理过程中，命题公式中的子公式都可以用与之等值的命题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。
4．代入规则（S）
在推理过程中，重言式中的任一命题变元都可以用一命题公式代入，得到的仍是重言式。
定理1．12 设α，β是两个命题公式，α⇔β当且仅当α⇒β且β⇒α。
定理1．13 设α，β，γ是命题公式，若α⇒β且β⇒γ，则α⇒γ。
定理1．14 设α，β是命题公式，则α⇒β的充要条件是α∧﹁β是矛盾式。
下面列出一些常用的推理定律（在后面的推理演算中以大写字母I加以引用）。
（1）化简律
α∧β⇒α，α∧β⇒β
（2）附加律
α⇒α∨β，β⇒α∨β
（3）假言推理（又称分离规则）
α∧（α→β）⇒β
（4）假言三段论
（α→β）∧（β→γ）⇒（α→γ）
（5）等价三段论
（α↔β）∧（β↔γ）⇒（α↔γ）
（6）析取三段论
（α∨β）∧﹁β⇒α
（7）拒取式
﹁β∧（α→β）⇒﹁α
（8）二难推理
（α→γ）∧（β→γ）∧（α∨β）⇒γ
（9）α，β⇒α∧β
（10）﹁α⇒α→β，β⇒α→β
（11）﹁（α→β）⇒α，﹁（α→β）⇒﹁β
（12）（α→β）∧（β→α）⇒（α↔β）
（13）α→β⇒（α∨γ）→（β∨γ），α→β⇒（α∧γ）→（β∧γ）
（14）α↔β⇒α→β，α↔β⇒β→α
在命题逻辑中，常用的推理方法有三种：真值表法、直接证法和间接证法。
1．真值表法
设P1，P2，…，Pn是出现于前提α1，α2，…，αm和结论β中的全部命题变元，对P1，P2，…， Pn的所有情况作完全指派，这样能对应地确定α1，α2，…，αm和β的所有真值，列出这个真值表，即可判断如下推理形式是否成立：
α1∧α2∧…∧αm⇒β或α1，α2，…，αm⇒β
若从真值表上找出α1，α2，…，αm均为1的行，β对应的行也为1，则上式成立。或者，若β为0的行，对应的行中α1，α2，…，αm至少有一个0，则上式也成立。
2．直接证法
直接证法就是由一组前提，利用前面的四条推理规则，根据已知的命题等值公式（命题定律的16组公式）和推理定律，推演而得到有效的结论。
3．间接证法
间接证法主要有两种：一种就是我们经常用的反证法；另外一种称之为CP规则。
1）反证法
要证明推理形式α1∧α2∧…∧αm⇒β成立（记作α⇒β），根据定理1．14可知，只需证明α∧﹁β是矛盾式。因此，只需把﹁β作为附加前提加入推理过程中，推出矛盾即可。
2）CP规则
欲证α⇒（β→γ），即证α⇒（﹁β∨γ），亦即α→（﹁β∨γ）永真。因为α→（﹁β∨γ）⇔﹁α∨（﹁β∨γ）⇔﹁（α∧β）∨γ⇔（α∧β）→γ，所以若将β作为附加前提，证明α∧β⇒γ成立，即得证α⇒（β→γ）成立。这一证明方法称为CP规则。
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