导数的四则运算与反函数的导数

    

    常见的初等函数，均是一些简单的基本初等函数通过四则运算、逆运算和复合运算得到。对于一般复杂函数，直接利用极限运算来计算导数值是不理想和复杂的。我们需要建立一些求导规则和一些基本初等函数的导函数，进而简化导函数的计算，或使得计算一些（但非全部）复杂函数的导函数成为可能。本节将分别介绍函数四则运算、反函数下的求导规则，并根据这些规则给出基本初等函数的导函数。复合函数的求导规则将在下节给出。

    导数的四则运算

    导数的四则运算，是一个约定俗成的称呼，指的是对一个经（某些函数的）四则运算后得到的函数求导所固有的规则。因其简洁性，我们仍然沿用这一在语义上不太准确的俗称。

    定理3.2.1（线性性质）　设函数f和g在x₀处均可导，α和β为两个常数，则f和g的线性组合函数αf＋βg在x₀处也可导，并且

    

    一般地，如果f和g（在指定的同一区间内）可导，则在此区间内，

    （αf＋βg）′＝αf′＋βg′．

    即

    （αf＋βg）′（x）＝αf′（x）＋βg′（x）．

    证明　为简单起见，我们简记x₀为x．由于f和g在x处均可导，故下述两个极限均存在：

    

    由于

    

    因此，在上述等式两边令∆x→0，借助极限运算的线性性质，我们立即得到

    

    根据这一性质，我们可以计算“稍微复杂一点”函数的导函数。

    例3.2.2　计算函数f（x）＝log_ax的导函数。

    解　通过对数的换底公式将f（x）＝log_ax改写为

    

    于是由导数的线性性质和例题3.1.5立即得

    

    例3.2.3　计算函数f（x）＝1＋2x³－5sinx的导数。

    解　

    例3.2.4　证明：n次多项式（n＞0）的导函数是一个，n－1次多项式。

    这一例题的证明留给读者。

    定理3.2.5　设函数f和g在x₀处均可导，则积函数fg在x₀处也可导，并且

    

    一般地，如果f和g（在指定的区间内）可导，则

    （fg）′（x）＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x），

    即

    （fg）′＝f′g＋fg′．

    证明　将函数值的差表示为

    

    于是

    

    不难将定理3.2.5推广到多个可导函数之积的情形，如

    （fgh）′（x）＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）g′（x）h（x）＋f（x）g（x）h′（x）．

    类似可证明下述定理。

    定理3.2.6　设函数f和g在x₀处均可导，g（x₀）≠0，则商函数在x₀处也可导，并且

    

    一般地，如果f和g（在指定的区间内）可导，且g（x）≠0，则

    

    即有

    

    特别地　　（1／g）′＝－g′／g²．

    由定理3.2.6可直接得到其他三角函数的导函数：

    

    类似地，请读者证明：

    

    

    反函数的求导法则

    定理3.2.7（反函数求导法则）　设函数f在I＝N（x₀）内严格单调，J＝f（I）．g∶J→I为f在I内的反函数。如果f在N（x₀）内严格单调、连续，在x₀处可导，且f′（x₀）≠0，则g在y₀＝f（x₀）处可导，且

    

    证明　令∆x＝g（y₀＋∆y）－g（y₀），则

    g（y₀＋∆y）＝x₀＋∆x，y₀＋∆y＝f（x₀＋∆x），

    于是

    ∆y＝（y₀＋∆y）－y₀＝f（x₀＋∆x）－f（x₀）．

    由于f在N（x₀）内严格单调、连续，则g必在y₀的某邻域f（N（x₀））内也严格单调、连续。因此，当∆y≠0时，上述定义的∆x≠0，并且当∆y→0时，此∆x→0．于是，由f在x₀的可导性得

    

    例3.2.8　证明：若｜x｜＜1，则

    证明　令y＝arcsinx，｜x｜＜1，则其反函数为x＝siny，根据反函数的求导法则，

    

    请注意：上式中（arcsinx）′在（siny）′的求导变量是不同的：前者关于变量x，后者关于变量y．初学者应特别注意其区别。可类似地得到其他反三角函数的导数（见下节末的基本初等函数导数公式表）。

    例3.2.9　求指数函数y＝a^x（a＞0,a≠1）的导函数。

    解　y＝a^x的反函数为x＝log_ay　（y＞0）．因此，

    

    特别地