第二节 时间序列的水平指标和速度指标
一、水平指标
（一）发展水平和平均发展水平
时间序列中的每个指标数值叫做发展水平。其中，第一个指标数值称期初发展水平，以符号a0表示；最后一个指标数值称期末发展水平，以符号an表示；其余各个指标值称中间发展水平，以符号a1，a2，…，an－1表示。在做动态对比时，作为对比基础时期的指标值，称基期发展水平；所要分析时期的指标值，称报告期发展水平。随着研究目的变化，发展水平的这些不同名称，也随之加以改变。
发展水平一般是总量指标，如全年钢产量；也可用平均指标来表示，如单位产品成本；或用相对指标来表示，如生产工人数占全部职工人数的比重。
将时间序列各期发展水平加以平均而得的平均数叫做平均发展水平，也称序时平均数或动态平均数。
第三章介绍的平均数是同一时间不同空间上的平均，也称作静态平均数，这里的序时平均数和静态平均数的共同之处都是将现象的个别数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平。同时，二者也存在差别。序时平均数是将现象在不同时间上的数量差异抽象化，说明现象在一段时间内发展变化的一般趋势，而静态平均数是将总体各单位在同一时间上的数量差异抽象化，反映现象在具体历史条件下的一般水平。
对不同的时间序列计算序时平均数有不同的方法：
1.绝对数时间序列序时平均数的计算。
（1）由时期序列计算。时期序列中各个指标值具有可加性，因此可直接采用简单算术平均法，以时期项数去除数列中各个指标数值之和即得。其计算公式为：
例8－1：根据表8－1我国1990～2002年钢产量资料计算年平均钢产量（万吨）为：
（2）由时点序列计算。对应时点指标不同的统计方法，采用不同的公式计算序时平均数。
①连续时点序列。如果时点序列的资料是逐日记录而又按顺序排列的，这时的时点序列可以看成是连续时点序列。在连续时点序列中有间隔相等和间隔不等两种情况。
如果时点序列是以日为间隔编制而成则称间隔相等的连续时点序列，可以用简单算术平均法计算序时平均数，即以时点指标值之和除以时点项数。其计算公式为：
例8－2：已知某企业某月内每天的工人人数，要计算该月平均每天的工人数，可将每天的工人数相加除以该月的日历日数即得。
如果时点序列中各指标值每次变动有一定的时间间隔，可用每次变动持续的间隔长度为权数对各时点指标值加权，应用加权算术平均法计算序时平均数，其计算公式为：
式中：f表示连续时点的间隔长度。
例8－3：已知某公司9月1～10日每日在册职工人数为720人，9月11日至月底增加到750人，则该公司9月份平均在册职工人数（人）为：
②间断时点序列。如果时点序列的资料不是逐日记录，而是隔一段时间登记一次，这时的时点序列称为间断时点序列。在间断时点序列中也有间隔相等和间隔不等两种情况。
对于间隔相等的间断时点序列，假定所研究现象在相邻两个时点之间的变动是均匀的，因而将相邻两个时点指标数值相加后除以2，得到这两个时点之间的序时平均数，再根据这些平均数进行简单算术平均求得序时平均数。这种方法叫做“简单序时平均法”，其计算公式为：
例8－4：某商场6～9月各月末员工人数如表8－3所示，计算该商场三季度平均员工人数。
表8－3
对于间隔不等的间断时点序列，假定现象在相邻两个时点之间的变动是均匀的，先求两时点指标值的平均数，再以间隔时间长度为权数进行加权平均，求得序时平均数。这种方法叫做“加权序时平均法”，其计算公式为：
例8－5：某地区2003年各时点人口数资料如表8－4所示，计算该地区2003年平均人口数。
表8－4 单位：万人
2003年平均人口数（万人）
2.相对数时间序列或平均数时间序列序时平均数的计算。相对数时间序列或平均数时间序列是由具有相互联系的两个绝对数时间序列对比构成的，因此，要先分别计算出这两个绝对数时间序列的序时平均数，然后进行对比，求得相对数时间序列或平均数时间序列的序时平均数，其计算公式为：
例8－6：某企业二季度产品生产情况如表8－5所示，计算该企业二季度平均计划完成程度。
表8－5
例8－7：某工厂二季度生产工人数占全部职工人数的比重如表8－6所示，计算该企业二季度生产工人数占全部职工人数的平均比重。
表8－6
生产工人数时间序列和全部职工人数时间序列是时点序列，生产工人占全部职工人数的比重序列是两个时点序列相应项对比形成的相对数时间序列。
先求生产工人数的序时平均数（人）：
再求全部职工人数的序时平均数（人）：
二季度生产工人占全部职工人数的平均比重（%）：
（二）增长量和平均增长量
1.增长量。增长量是时间序列中报告期发展水平与基期发展水平之差，反映社会经济现象在一定时期内增加或减少的数量，即增长量＝报告期水平－基期水平。
由于采用的基期不同，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。
逐期增长量是报告期水平与前一时期水平之差，说明现象逐期增加或减少的数量，用公式表示为：
Δi＝ai－ai－1（i＝1，2，3，…，n）
累计增长量是报告期水平与某一固定基期水平之差，说明现象在一定时期内总的增加或减少的数量，用公式表示为：
Wi＝ai－a0（i＝1，2，3，…，n）
由于某些社会经济现象在发展过程中含有季节性变动，为了消除季节波动的影响，还可以计算年距增长量：
年距增长量＝报告年发展水平－基年同期发展水平
2.平均增长量。平均增长量是指时间序列各逐期增长量的序时平均数，反映现象在一段时期内平均每期增加或减少的数量。一般用简单算术平均法计算，公式为：
式中：n表示逐期增长量的个数；N表示时间序列的项数。
二、时间序列的速度指标
（一）发展速度和增长速度
1.发展速度。发展速度是根据两个不同时期的发展水平对比而得，反映社会经济现象发展程度的相对指标，用来说明报告期水平已发展到（或增加到）基期水平的若干倍（或百分比）。一般公式为：
由于采用的基期不同，发展速度可分为定基发展速度和环比发展速度。定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，表明现象在较长时期内总的发展变化方向和程度。环比发展速度是报告期水平与前一时期水平之比，表明现象相邻两期逐期发展变化的方向和程度。
定基发展速度和环比发展速度虽不相同，但两者之间存在着一定的换算关系，即同类现象的时间序列中，各环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度。
2.增长速度。增长速度是增长量与基期水平对比求得，表明社会经济现象增长程度的相对指标，用以说明报告期水平比基期水平增加了若干倍（或百分比）。其一般计算公式为：
由于采用的基期不同，增长速度也可分为定基增长速度和环比增长速度。定基增长速度是累计增长量与固定基期水平之比，表示被研究现象在较长时期内总的增长或下降的程度。环比增长速度是逐期增长量与前期水平之比，表示被研究现象逐期增长或下降的程度。
由于增长速度是增长量与基期水平之比，因此，增长速度也可通过发展速度减1或100%求得，即：
定基增长速度＝定期发展速度－1（或100%）
环比增长速度＝环比发展速度－1（或100%）
可见，当发展速度大于1（或100%）时，增长速度为正值，表明现象的增长程度；当发展速度小于1（或100%）时，增长速度为负值，表明现象的降低程度。
3.年距发展速度和年距增长速度。对于具有季节变化的一些经济现象，为了消除季节变动的影响，可以计算年距发展速度和年距增长速度，其计算公式为：
显然，年距增长速度＝年距发展速度－1（或100%）。
4.增长1%的绝对值。运用时间序列进行动态分析时，为了进一步了解现象的变化情况，有时需要将速度指标与水平指标结合运用。速度指标与水平指标相结合的常用指标是增长1%的绝对值，即速度每增长一个百分点而增加的绝对数量，计算公式为：
可见，增长1%的绝对值也等于前期水平除以100。
（二）平均发展速度和平均增长速度
1.平均发展速度。平均发展速度是一段时期内各期环比发展速度的序时平均数，表明社会经济现象在较长时期内发展变化的平均程度。
平均发展速度通常采用几何平均法和高次方程法两种方法计算。
几何平均法又称水平法。由于总发展速度不等于各期环比发展速度的和，而是等于各期环比发展速度的连乘积，因此，平均发展速度的计算不能用算术平均法，而要用几何平均法。即：
因此：
几何平均法的实质是要求最初水平a0在平均发展速度下发展以达到最末水平an，即
所以几何平均法也称作水平法。
高次方程法也称累计法。应用高次方程法计算平均发展速度的实质是要求各期按平均发展速度计算所达到的累计总和，等于各期实际所具有的水平总和，即：
不管运用哪种方法计算平均发展速度，为方便计算，都可应用《平均发展速度查对表》。
2.平均增长速度。平均增长速度是一段时期内各期环比增长速度的序时平均数，表明社会经济现象在较长时期内增长变化的平均程度。
由于各期环比增长速度的连乘积不等于总增长速度，因此不能根据各期环比增长速度来计算平均增长速度，而是首先计算出平均发展速度指标，再将其减1（或100%）来求得。
3.计算和运用平均速度指标应注意的问题。
（1）几何平均法和高次方程法是计算平均速度指标的基本方法，两种方法的侧重点不同，前者是从最末水平出发来进行研究，后者则是从各期水平累计总和出发来进行研究。因此，同一统计资料，应用两种方法计算的结果也不相同。所以，在计算平均速度时要根据研究对象的性质及研究目的选择合适的方法。
（2）平均速度指标是较长时期内总速度的平均值，为了深入了解现象发展过程的变化情况，有时需要计算分段平均速度来补充说明总平均速度。如分析新中国成立几十年来钢产量的平均发展或增长程度时，有必要分恢复时期、各个五年计划时期等分段计算平均速度加以补充说明。
表8－7以我国1996～2002年钢产量资料为例，说明增长量、发展速度、增长速度及各指标相应平均值的计算方法：
表8－7 时间序列水平指标及速度指标计算表
我国1996～2002年钢产量平均每年增长（万吨）：
我国1996～2002年钢产量平均每年发展速度：
我国1996～2002年钢产量平均每年增长速度：
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