6.2 压电方程及压电常数
压电方程是对压电元件压电效应的数学描述。它是压电传感器原理、设计和应用技术的理论基础。具有压电性的压电材料,通常都是各向异性的。由压电材料取不同方向的切片(切型)做成的压电元件,其机电特性(弹性性质、介电性质、压电性质和热电性质等)也各不相同。因此,下面以石英晶体为例,首先讨论压电元件的切型及符号。
6.2.1 石英晶片的切型及符号
所谓切型,就是在晶体坐标中取某种方位的切割。如图6-5所示,图(b)为在左旋石英晶体坐标图(a)中,对应x方向切割成长、宽、厚分别为l、w、t的六面体晶片——x切片。由于不同方向的切片(切型)其物理性质各不相同,因此必须用一定的符号来表明不同的切型。
图6-5 石英切片
(a)左旋石英晶体坐标;(b)x切片
切型的表示,目前有互相对应的两种方法:习惯符号表示法和IRE[1]标准规定的符号表示法如表6-3所示。IRE法是一种以厚度取向为切型的表示法:它是由晶体坐标x、y、z,切片尺寸t、l、w和旋转度角φ、θ、ψ(逆时针为正、顺时针为负)组合而成(有时还附注晶片尺寸值)。
表6-3 石英晶体两类切型符号对应关系
举例说明:如切型(xyltw)40°/30°/15°;t=0.80±0.01mm;l=40.0±0.1mm;w=9.03±0.03mm,表示:
(1)首两位字母xy表示晶片的原始方位;且首位x表示厚度t方向,y表示长度l方向。如不作旋转切型,xy(即X0°)就构成了X切族[如图6/6(a)]。
图6-6 (xyltω)40°/30°/15°切型的形成
(2)以原始方位为基准,依次分别绕l、t、w棱边逆时针方向相应旋转40°、30°、15°[如图6-6(b)~(d)]。
实际应用中,时常用两种符号结合表示切型,如AC(yxl)30°,DT(yxl)-52°,NT(xytl)5°/-50°等。
6.2.2 压电方程及压电常数矩阵
前已提及,压电方程是压电效应的数学描述。它反映了压电介质的力学行为与电学行为之间的相互作用(即机-电转换)的规律。为简明起见,我们的分析基于如下的前提:在讨论正压电效应时,暂不考虑外界附加电场的作用;在讨论逆压电效应时,暂不考虑外界附加力场的作用;并忽略磁和温度场的影响。
图6-7 X0°切型石英晶片的力电分布
6.2.2.1 石英晶体的压电方程
首先必须指出,压电效应式(6-1)只适用于各向同性的电介质材料。对于各向异性的压电材料,方程必须能反映出材料机电特性的方向性。因此,式(6-1)应表示为矢量矩阵形式。
设有一如图6-5(b)中X0°切型的正六面体左旋石英晶片,在直角坐标系内的力-电作用状况如图6-7所示。图中:T1、T2、T3分别为沿x、y、z向的正应力分量(压应力为负)T4、T5、T6分别为绕x、y、z轴的切应力分量(顺时针方向为负);σ1、σ2、σ3分别为在x、y、z面上的电荷密度(或电位移D)。
因此,各向异性的石英晶片,其单一压电效应可用下式表示:
σij=dijTj (6-3)
式中,i——电效应(场强、极化)方向的下标,i=1,2,3;
j——力效应(应力、应变)方向的下标,j=1,2…6;
Tj——j方向的外施应力分量(Pa);
σij——j方向的应力在i方向的极化强度(或i面上的电荷密度)(Cm2);
dij——j方向应力引起i面产生电荷时的压电常数(C/N)。当i=j时,为纵向压电效应;当i≠j时,为横向压电效应。
推广到一般情况,即石英晶片在任意方向的力同时作用下的压电效应,可由下列压电方程表示:
写成矩阵形式:
或简写成
σ=d T (6-6)
式中,σ1、σ2、σ3——分别为在x、y、z轴面上产生的总电荷密度。
因此,完全各向异性压电晶体的压电特性——即机械弹性与电的介电性之间的耦合特性,可用压电常数矩阵表示如下:
对于不同的压电材料,由于各向异性的程度不同,上述压电矩阵的18个压电常数中,实际独立存在的个数也各不相同,这可通过测试获得。如X0°切型石英晶体的压电常数矩阵,具体为
可见,由于石英晶体结构的较好对称性,它是介于各向同性和完全各向异性之间的晶体,因此它独立的压电常数只有两个:
d11=±2.31×10-12(C/N)
d14=±0.73×10-12(C/N)
其中,按IRE规定,左旋石英晶体的d11和d14在受拉时取“+”,受压时取“-”;右旋石英晶体的d11和d14在受拉时取“-”,受压时取“+”。
图6-8 右旋石英晶体的几种压电效应
(a)纵向压电效应;(b)横向压电效应;(c)(d)剪切压电效应*图(c)中()内的符号表示y切型剪切压电效应
综上所述可见:
(1)压电晶体的正压电效应和逆压电效应是对应存在的,哪个方向上有正压电效应,则在此方向上必定存在逆压电效应,而且力-电之间呈线性关系。
(2)由式(6-8)可见,石英晶体不是在任何方向上都存在压电效应。图6-8清楚地表明了这一点:
①在x方向:只有d11的纵向压电效应[图(a)]、d12的横向压电效应[图(b)]和d14的剪切压电效应[图(c)]。
②在y方向:只有d25和d26的剪切压电效应[图(c)(d)]。
③在z方向:无任何压电效应。
还应当指出,(1)式(6-8)是对X0°切型而论,若经旋转后的x切型,或对其他压电晶体的[dij]表达式,请参阅文献[26][27]。(2)既然压电常数是反映压电材料弹性性质与介电性质相互耦合的参数,而材料的弹性性质联系着应力T和应变S,介电性质联系着电场强度E和电荷密度σ,因此,我们可以从这些不同的参量关联来反映这种机-电耦合关系。详析请阅文献[27]。
6.2.2.2 压电陶瓷的压电方程
图6-9 极化压电陶瓷
由前述知,压电陶瓷经人工极化处理后,保持着很强的剩余极化。当这种极化铁电陶瓷受到外力(或电场)的作用时,原来趋向极化方向的电畴发生偏转,致使剩余极化强度随之变化,从而呈现出压电性。对于压电陶瓷,通常将极化方向定义为z轴(见图6-9),垂直于z轴的平面内则各向同性。因此与z轴正交的任何方向都可取作x轴和y轴,且压电特性相同。
以钛酸钡(BaTiO3)压电陶瓷为例,由实验测试所得的压电方程为
式中,压电常数矩阵
其中:d33=190×10-12(C/N)
d31=d32=-0.41d33=-78×10-12(C/N)d15=d24=250×10-12(C/N)
由式(6-10)可见,BaTiO3压电陶瓷也不是在任何方向上都有压电效应。如图6-10所示:
①在x和y方向上分别只有d15和d24的厚度剪切压电效应[图(c)];
②在z方向存在有d33的纵向压电效应[图(a)],d31和d32的横向压电效应[图(b)];
③在z方向还可得到三向应力T1、T2、T3同时作用下,产生体积变形压电效应[图(d)];当外加三向应力相等(如液体压力)时,由压电方程式(6-9)可得
σ3=(d31+d32+d33)T
=(2d31+d33)T=d3T
式中d3=2d31+d33称为体积压缩压电常数。
图6-10 z向极化BaTiO3的压电效应
(a)纵向压电效应;(b)横向压电效应;(c)剪切压电效应;(d)体积压电效应
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