虚位移原理

    2.3.1　虚位移原理

    所谓虚位移可以是任何无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对于悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。

    

    

    图2.10　物体的边界条件

    考虑如图2.10所示的物体，它受到外力F₁、F₂、…的作用，记：

    ｛F｝＝［F₁F₂F₃…］^T

    在这些外力作用下，物体的应力为

    ｛σ｝＝［σ_xσ_yσ_zτ_xyτ_yzτ_zx］^T

    现在假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位移为，记：

    

    上述虚位移所产生的虚应变为

    

    在产生虚位移时，外力已作用于物体，而且在虚位移过程中，外力保持不变。因此，外力在虚位移上所做的虚功为

    

    在物体的单位体积内，应力在虚应变上的虚应变能为

    

    整个物体的虚应变能为

    

    虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外力在虚位移上所作虚功等于物体内应力在虚应变上的虚应变能，即

    

    式中　｛δ^＊｝和｛ε^＊｝——分别为虚位移和虚应变；

    　　　｛F｝和｛σ｝——分别为外力和应力。

    上述虚位移原理可以用于建立单元的刚度矩阵（见本章第1节），不仅适用于线性材料，也适用于非线性材料。