二阶与三阶行列式

    求解二元线性方程组

    利用消元法，分别消去未知数x1，x2，得

    若a11a22-a12a21≠0，则方程组（1.1）有唯一解

    观察式（1.3）的结构，发现式（1.3）的两个分母都是a11a22-a12a21，它是由方程组（1.1）的4个系数确定. 把这4个系数按它们在方程组（1.1）中的位置，排成二行二列的数表

    则表达式a11a22-a12a22称为数表（1.4）所确定的二阶行列式，记作

    其中，数aij（i，j=1，2）称为行列式（1.5）的元素. 横排称为行，竖排称为列. 元素aij中第一个下标i称为行标，第二个下标j称为列标，分别表示元素aij在行列式（1.5）中所处的行数和列数. 例如，元素a21在行列式（1.5）中位于第二行第一列.

    二阶行列式的定义可以用对角线法则来表示：参看图1.1，行列式的主对角线（从左上角到右下角的实连线）上的两元素a11，a22的乘积，减去行列式副对角线（从右上角到左下角的虚连线）上两元素a12，a21的乘积.

    利用二阶行列式的概念，式（1.3）中分子部分也可用二阶行列式表示，即

    则方程组（1.1）的解可表示为

    其中，分母D是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），而D1，D2分别是用方程组（1.1）右端的常数列来代替D中的第一列和第二列所得的二阶行列式.

    例1.1　计算二阶行列式

    解　按对角线法则，有

    D=2×3-1×（-1）=7.

    例1.2　求解二元线性方程组

    解　由于

    所以

    类似地，在用消元法求解三元线性方程组

    时，可引入三阶行列式的定义：9个元素aij（i，j=1，2，3）排成三行三列的数表

    （1.8）式称为由式（1.7）所确定的三阶行列式.

    从上述定义可知，三阶行列式是6项的代数和，每项都是由不同行不同列的3个元素的乘积再冠以正负号所得，其规律可以用图1.2所示的对角线法则描述：图中有三条实线看成平行于主对角线的连线，三条虚线看成平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素的乘积冠以负号.

    图1.2

    例1.3　计算三阶行列式

    解　按对角线法则，有

    需指出，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，四阶及以上的行列式不再具有对角线法则. 将在1.2节中根据二阶、三阶行列式的规律引出n阶行列式的定义.