7．3 系统的频率特性与稳定性
在第6章线性放大器的分析中，重点讨论了描述电路精度特性的小信号低频直流增益，并从时域的角度分析了线性处理所必须遵循的基本准则。实际上，影响电路线性性能参数不仅限于信号的时域关系，信号的频率响应也非常重要。直观地理解，实际信号包含了从低频到高频较宽的频带范围，因此运放对小信号的放大，包含了对该信号中各频率分量的放大，从保持线性处理性质的角度出发，希望对频带范围内各种不同频率分量的放大都具有均匀一致性。在中高频段下，当放大器的增益比低频直流增益明显下降时，放大器在频带范围内的小信号处理必然产生失真，导致线性处理能力的下降。实际放大器增益随频率而变化，形成运放的频率响应特性，即放大器增益在中低频率下通常保持常数，高频下按特定的规律衰减。通常，将放大器增益值随信号频率变化的保持能力用带宽指标进行描述。运放增益下降到低频直流增益的
时，所对应的频率定义为－3dB带宽ω－3dB，而增益下降到单位1即0dB时所对应的带宽，则定义为运放的单位增益带宽GBW。
从小信号线性处理的角度出发，无论开环还是闭环，总是希望电路的带宽越宽越好。理想运放的本质特点之一就是带宽无穷大。然而，对于实际电路，带宽无穷大将带来系统稳定性方面的严重问题，因此，系统稳定性的要求限制了电路所具有的带宽上限。由于带宽与小信号的瞬态响应又是联系在一起的，有限带宽也影响到电路所具有的小信号的瞬态响应速度。因此，电路性能的改善和提高，必须以保证系统稳定为条件。而解决电路的稳定性设计问题，需要从系统的稳定以及频率引起电路性质的变化这两个方面考虑。
电路系统广义的稳定性定义为：电路系统的有界输入导致有界输出，当这一关系成立或性质保持时，称为系统稳定。相反，有界的输入导致无界的输出，则为系统的不稳定状态，即电路为不稳定系统。实际电路中，任何结点电位的范围都存在两个边界，并不会出现无穷大的无界输出，因此对于实际系统的无界输出就是两个轨边界——VCC或VGND，或者输出在两个边界之间来回往复地振荡，这就构成了非稳定系统时域输出特性的典型特征。
开环运放一般均具有LHP极点，因此开环运放都具备有界输入导致有界输出的稳定性质。因此，系统的稳定性是由电路闭环反馈性质所决定。在实际应用中，运放电路结构均构成负反馈闭环控制系统，即低频的负反馈一定能够保证系统的稳定工作。在高频下，电路中低频下表现为开路的各结点寄生电容开始起作用，电流或电压驱动的高频容抗的降低一方面使各增益级输出等效负载下降，增益退化；另一方面，电容还将引起与之相关的电压与电流相位关系的变化，对于电容积分器，输出电容电压相位落后输入电流或电压90°，对于电容微分器，输出电流相位超前输入电压相位90°。如此，电路中的各结点包括系统输出结点在内，相对原始输入信号输出都存在相位上的变化。在模拟集成运放电路中，各输出级总是表现为电流对电容的激励，即积分环节，因此电路的输出总相位相对于原始输入信号相位总是滞后，而且频率越高，迟滞效应越明显。
直观上，负反馈系统稳定，而正反馈系统可导致发散。对于多级放大器，当信号频率超出一定范围后，输出总的相位延迟可以达到并超过180°。这样在低频下构造的闭环负反馈系统，由于附加的180°相位移而在高频下变成正反馈，反馈的性质发生变化，将导致高频下系统的稳定性质改变。在此相位移达到180°的频率点下，即相位交点，若电路增益小于1，虽有正反馈但却是一个衰减的过程，自激振荡无法建立起来，系统保持稳定状态，这是系统保持稳定的增益裕度条件，相位交点下的增益小于0dB的值越大，即增益裕度越大，稳定性越高；同样，增益为0dB时的频率即单位增益带宽频率下，若总的相位滞后不足180°，则与180°相位移的距离称为相位裕度，相位裕度越高，稳定性越好。因此，一个稳定的电路系统必须同时满足相位裕度与增益裕度的要求。然而，由于设计不当或工作条件及环境的变化，电路系统都有可能失去应有的稳定性。因此，在保证稳定的前提下，进一步考虑电路性能的提高才有现实的意义。
系统的稳定性存在程度和范围上的差异。理想状态是无条件稳定，也称为大信号稳定或非线性稳定，即在任意改变参数和施加任意激励信号的条件下，系统都能稳定。另一种则为条件稳定，也称为小信号稳定或线性稳定，而在大信号下则不一定稳定，或者在一种参数及某一类激励信号下稳定，当参数变化或激励改变后，系统失去稳定。通常对于实际电路系统，都是条件稳定。电路设计的目的，就在于尽量扩展稳定的适应范围，使系统尽可能地接近理想稳定或无条件稳定的状态。在以下有关频率响应及条件稳定的分析中，主要采用小信号的分析方法和手段。
7．3．1 系统稳定性描述与s传递函数
1）开环稳定与闭环稳定关系
首先考察系统稳定内在的实质性要求。针对某一输入激励下的输出响应，从时域特性看，输出信号中包含与t无关的稳态或直流分量，同时包含与t有关的瞬态分量这两类时域特性不同的输出。在不存在瞬态分量的特例状态下，或瞬态分量随时间逐渐衰减，则当经历足够长的延时，瞬态分量逐步衰减到零，系统一定达到稳定，其输出仅由稳态直流分量决定。
根据线性系统的控制理论，系统小信号的传递函数常用s传递函数表示，s传递函数中的极点对应于系统的瞬态响应分量。为使系统瞬态响应收敛，必须保证s域的系统传递函数仅存在左半平面LHP极点，而不能存在右半平面RHP极点，实现时域中随时间逐渐衰减的瞬态分量，这就是一般系统稳定的内在要求。
因此，系统存在稳定与不稳定的本质区别。同时，对于稳定系统，也存在稳定程度的差异。这种差别体现在当采用一个稳定系统去构建新的系统时，新构建的系统是否能够保持稳定的特性。如对于一个由开环增益A（s）组成的负反馈闭环系统G（s），理论上两者的稳定性关系存在以下几种可能的组合：
（1）若开环不稳定，则闭环一定不稳定。这表明开环存在有RHP极点，并且此性质的极点一定会传递到闭环系统中，虽然闭环RHP极点的具体位置会发生变化，但性质不变。这种组合状态一定是存在的，必须通过设计避免此类状态的出现。实际上，开环增益总是稳定的，不存在由不稳定开环构建闭环系统的状态。
（2）若开环不稳定，而闭环稳定。根据以上分析，这是不可能存在的状态，应排除这种设计组合的可能。
（3）若开环稳定，而闭环不稳定。这是一种可能存在的状态，应通过设计消除或避免。
（4）若开环稳定，而闭环也稳定。这也是一种可能的状态，是系统设计依据的主要组合之一，也是4种组合中唯一具有实用价值的选择。
因此，开环及其构成闭环的稳定性并非完全等价，开环稳定时，则闭环可以稳定，也可以不稳定，即闭环的LHP极点与开环的LHP极点有联系，但极点的性质并没有完全的决定和依赖关系。因此，为实现闭环稳定，除了保证开环稳定的基本条件外，还应保证在各种反馈条件下闭环的稳定。具体而言，开环与闭环理论上的4种组合关系中，可以利用的仅为最后一种组合状态，通过设计约束和具体规格要求，完成基于频率补偿的闭环系统稳定性设计。综上所述，任何系统稳定均归结为两方面的限制条件：
（1）开环系统是收敛的：系统所有极点p位于s域左半平面，p＜0，exp（pt）瞬态项收敛；
（2）闭环系统是稳定的：系统极点和零点引起的相位移应满足负反馈条件，即满足相位裕度与增益裕度的约束。
从数学模型方面考虑，无论开环、闭环系统，都可采用s域的传递函数G（s）描述系统性能。电压v与电流i是描述电路性能的主要参数和变量，它既可以是时域描述中的时间变量v（t）和i（t），也可以是s域描述中复频变量V（s）和I（s）。时域描述直观，但难以描述信号在电路网络中的频率传输特性；频域描述非直观，但可描述不同电路网络对不同频率信号的传输作用。这是一个问题的两个方面，因此同一对象不同的数学描述之间必然存在内在的联系，这种联系即由s变换的定义而建立。设时域函数r（t）的s变换即拉普拉斯变换为R（s），作为一种线性变换，有
s的单位为频率单位，因此s称为复频变量，则系统G（s）传递函数一般情况下均可表示为
式中：k——电路系统低频直流增益因子；
m——分子N（s）多项式中s的最高次幂；
n——分母D（s）多项式中s的最高次幂。
N（s）＝0的s域取值为系统零点，D（s）＝0的s域取值为系统极点。s域LHP极点的性质要求D（s）中所有的系数ai≥0，即D（s）的非负系数为系统收敛与稳定的必要条件，但不是充分条件。从因果系统可实现的要求出发，G（s）还必须满足m≤n的条件。
2）系统稳定的判据和稳定裕度
当稳定的开环组成闭环系统后，闭环系统的极点位置和性质将发生变化，由于D（s）为高阶多项式，其极点的解析求解十分困难。采用简便的方法可以快速判断闭环极点LHP性质以及开环增益和极点对闭环系统的具体影响。由于闭环负反馈系统的稳定，实际上隐含了对应的开环系统稳定的条件。由于开环运放总是用于构成闭环的应用，因此开环系统除了输出收敛的有界约束外，还必须使其构成的单位负反馈闭环系统稳定。
设开环增益A（s）为闭环G（s）的前馈通路，而反馈通路由F（s）组成，环路增益P（s）＝A（s）F（s），开环A（s）零点与LHP极点均为已知，则构成的闭环系统为
闭环系统的极点位置由H（s）多项式决定，而H（s）又可表示为以下一般的函数关系：
显然，H（s）的零点就是闭环G（s）的极点。H（s）在s域右半轴的零点，即构成了闭环系统G（s）在s域右半轴的极点，这是造成闭环系统失去稳定性的根源。为此，必需找出H（s）的零点与开环A（s）的零点或极点之间的对应关系。设开环增益的模型为A（s）＝kN（s）/D（s），F＝1的单位负反馈下闭环极点多项式H（s）为
H（s）的极点来源于开环A（s）的极点，该极点在闭环中将与A（s）的极点完全抵消。但H（s）中的零点发生变化无法与A（s）零点相抵，则闭环系统的零点就维持为开环A（s）的零点，而H（s）的零点即闭环G（s）的极点，则由D（s）与N（s）多项式共同决定，导致闭环极点位置的改变。利用Cauchy和Nyquist定理，可以在不进行闭环极点值求解的条件下，推测出H（s）零点即闭环系统极点的性质，从而判定系统的稳定性。
Cauchy定理的基本内容：在图7－10所示的s域中，沿封闭曲线Γs逆时针环绕一圈，若圈内包含零点的个数为Z，极点的个数为P，两者间的差值为N＝Z－P，则当s域映射到H（s）域后，则H（s）包含原点零点次数为N＝Z－P。
Cauchy定理的意义在于通过对s域右半平面映射关系，将s域RHP中的净零点个数，用H（s）域中原点即使H（s）＝0的同性质个数等效。如此，在H（s）变化域中，H（s）＝0的零点个数很容易判断，避免了在s域中对满足H（s）＝0关系的s点具体位置的求解。例如，包含整个s域RHP平面的封闭曲线Γs可用r→∞半圆表示，若在此逆时针包围的平面内，Z＝0、P＝0，则N＝0，此时H（s）由于不存在RHP零点，系统稳定。
显然，判定系统稳定性，可利用Cauchy的逆向推导。首先，利用开环稳定的条件，则H（s）中RHP极点的个数为零，即P＝0。此时，如H（s）变换域中原点的个数N＝0，则在s域中H（s）＝0的RHP零点个数Z＝N＋P＝0＋0＝0，这意味着H（s）没有RHP零点、或系统G（s）没有RHP极点，G（s）系统稳定。否则，当N＞0、或P＞0（对应于开环不稳定），均导致Z＞0，使G（s）存在RHP极点，系统不稳定。
图7－10 Γs与ΓH的映射关系
根据H（s）－1＝P（s）的对应关系，将H（s）平面的坐标原点向右平移单位1得到P（s）的原点，则H（s）＝0的原点对应于P（s）的（－1，0）点。经过此转换，由Cauchy定理中关于H（s）＝0原点个数判断，转化为P（s）平面中关于（－1，0）点个数的判断，由此引入以下稳定性充分必要条件的新判据。
Nyquist定理：s映射域中的轨迹Γs将被映射到P（s）平面上的封闭曲线Γp，在P（s）平面上，沿Γp逆时针环绕一圈，计环绕其（－1，0）点的次数为N＝m。通常条件下由于开环稳定，Γs中RHP开环极点的个数P＝0，则闭环G（s）中RHP极点的个数Z＝N＋P＝m。
因此，在开环稳定的前提下，Nyquist定理简化为：P（s）平面中逆时针的Γp若不包含（－1，0）点，即m＝0，则闭环系统不存在RHP极点，输出有界，系统稳定。闭环系统的稳定性实际上还是输出有界性问题。此外，根据Γp曲线绕P（s）平面中（－1，0）点的状态，可以定义闭环稳定裕度的概念。
Nyquist Plot：奈奎斯特图是一种极坐标图，以角频率ω为参变量，从零（直流）到无穷大（高频）变化。端点随频率变化的轨迹形成曲线，该轨迹上的一点到零点的距离为信号的模量M（ω），模与实轴的夹角为信号的相位φ（ω）。该模投影到实轴和虚轴的分量分别为V（ω）和U（ω）。对应P（s）的特殊点（－1，jω），幅度或模量为1，相位为－180°。
Bode Plot：波特图是Nyquist图的另一种表现形式，其中信号模量M（ω）和相位φ（ω）被分开在两个平面内，并分别表示为与角频率的变化关系，ω从0到∞。通常变量以对数坐标给出，分别形成幅频特性和相频特性，设s＝jω，则闭环频响为
lnG（jω）＝lnM（ω）exp［jφ（ω）］＝ln｜M（ω）｜＋jφ（ω） （7－22）
对G（jω）的幅频M（ω）与相位φ（ω）分别处理后，有
最终根据系统频率响应，对稳定性的判据如下：
（1）G（jω）的Nyquist图：如Γp曲线包含点（－1，jω）则G（jω）非稳定；否则，Γp曲线轨迹不包含此点，则G（jω）稳定。G（jω）包含（－1，jω）点的含义是指当相位是－180°时所对应的增益（模）大于1。
（2）Bode图：相位移达到－180°时所对应的增益或环路增益小于1，含义同上。
由于系统增益在高频下总能衰减到单位1以下，因此单位环路增益时是否为正反馈则成为系统是否稳定的关键，由此引出增益（0dB）交点下的相位裕度概念。同样，高频下多极点系统的相位移总能达到形成正反馈所需的－180°相位迟滞，因此正反馈下环路增益是否小于1即0dB成为系统是否稳定的另一关键因素，由此引出相位（－180°）交点下的增益裕度概念。增益裕度与相位裕度之间既有关联又有区别。在系统相位和增益的单调性变化前提下，只需满足其中之一就可保持稳定，而两项同时满足，即使针对系统频率特性的非单调性变化，也可确保系统的稳定。在临界稳定区域附近，考虑到参数变化可使稳定系统变成不稳定系统，和相位迟滞对瞬态特性的影响，因此应留有余量，即幅度和相位距离临界稳定状态的距离，从而形成包括相位裕量和增益裕量在内的稳定性设计要求。
相位裕量：Nyquist判据，M（ωC）＝1的单位圆经过（－1，jω）特殊点，求Γp与单位圆的交点，交点的位置对应于环路增益环节的单位增益即0dB，此交点相位（角度）φ（ωC）与－180°的距离（差）定义为相位裕度。该角度差值越大，相位裕度越高。Bode判据：定义M（ωC）＝1单位增益，找出该ωC下的相位移φ（ωC），该相位与－180°的距离（差）定义为相位裕量。两种定义本质上是一致的。通常的相位裕度至少为45°，一般在60°以上。
增益裕度：考虑到零点可能引起高频下模量的增加，导致增益和频率关系的非单调特性，因此有必要定义增益裕量。其Bode图含义为，当附加的相位移达到－180°时，即相位裕度约束满足时并不一定能保证系统的稳定，以dB计的模量（增益）与0dB的距离即为增益裕度。Nyquist判据中，增加开环增益因子k，直到Γp与（－1，0）相交，达到临界稳定，增益裕度为零。Γp与负半轴交点对应于系统的－180°相位移，此交点与（－1，0）的距离，定义为增益裕度。该距离越大，增益裕度也越大。通常增益裕量应在10dB以上。
图7－11 Nyquist图
设环路增益P（s）＝k［s（τ1s＋1）（τ2s＋1）］－1，系数均为正，通过图7－11所示的Nyquist判据可考察闭环系统的稳定性。当反馈F＝1时，P（s）＝A（s）就是前馈通路，即开环增益。单位负反馈的稳定性相对其他反馈系数（F＜1）是最差的，因此F＝1时闭环稳定可以确保F＜1时系统也能稳定。
开环A（s）的极点共有3个，即－1/τ1、－1/τ2、0，且均为LHP极点，RHP极点数P＝0。根据Nyquist定理的稳定性要求，当Γs映射Γp后，沿逆时针方向Γp不能围绕（－1，0）点，则闭环没有RHP极点，系统稳定。Nyquist定理描述的闭环稳定性，与频率响应的Bode图由开环系统确定闭环系统的稳定性，本质上是等价的。
根据P（s）函数，当Γs为右半轴半径无穷大半圆，但不包含原点时，s到P（s）平面的映射关系为：Γs的无穷大半圆，映射到Γp的原点；Γs的无穷小半圆，映射到Γp的半轴无穷大半圆；Γs的虚轴，映射到Γp的两段弧线，分别连接原点和虚轴无穷远点，其映射关系如图7－11所示。当开环增益因子k值增大后，Γp可能逆时针绕（－1，0）点两次，导致系统闭环不稳定。虽然开环稳定，但k需受限制，以确保闭系统的稳定。因此，开环增益因子k对闭环稳定性有显著影响，通常为k越大，稳定性越差，k越小，稳定性越高。但也有例外的情况发生，如图7－11中，当增益因子k下降后，闭环反而不稳。由此引入小信号条件下狭义的绝对稳定与条件稳定的概念。绝对稳定：在某一环路增益k下系统稳定，当k下降后，系统仍然可保持稳定的性质；条件稳定：在某一环路增益k下系统稳定，当k下降后，系统不能保持稳定的状态。
相位裕度和增益裕度不但可描述系统稳定的相对程度，还影响电路的动态性能。相位或增益裕度越大，稳定的开环实现稳定的闭环也越容易，即稳定裕度也越大，通常理解为开环的稳定程度也越高。因此，系统稳定的性质即稳定性是个绝对的概念，所谓绝对是以系统自身性质为判据；而系统稳定的程度是个相对的概念，以系统自身性质与其所构成闭环系统稳定性之间的关系而确定。
系统的瞬态响应速度与系统相位裕度密切相关。相位裕度越大，则响应速度越慢。当系统稳定度下降，即相位裕度减小时，响应速度增加，表现为输出有明显的过冲，甚至产生阻尼振荡。相位裕度为0时，输出为等幅振荡的临界稳定；相位裕度小于零后，则进入发散振荡的非稳定工作状态。因此，保证系统处于一定程度的稳定状态，一方面是应对参数变化的需要，另一方面也是改善系统输出响应特性的需要。
判定系统稳定的基本依据为闭环极点的LHP性质，以及满足该条件所需的开环条件及难易程度。开环系统稳定是闭环稳定的必要但非充分条件，以上关系表明，闭环稳定性的分析和设计相当复杂，实际上是对稳定的开环系统在增益和带宽等方面提出了具体的限制和要求，同时也决定了稳定开环系统的增益和带宽必须限定在一定的范围内。
7．3．2 频率特性描述与零极点
稳定性设计首先建立在对系统频率响应特性深入分析的基础之上，因此应首先建立描述系统频率响应的数学模型，建立系统频率响应中起决定因素的零、极点的概念及其产生机制，为频率补偿设计建立起必备的理论基础。
1）频率响应描述
系统频率特性包含在更为一般的s传递函数中，如令s＝jω，即可得到系统的频率响应特性，包括幅频响应与相频响应。若G（s）系统的输入为单频正弦激励信号e（t）＝Asin（ωt），其时域信号e（t）的拉氏变换为E（s）＝L［Asin（ωt）］＝Aω/（s2＋ω2），则输出的s域函数为
系数Ck对应实极点所决定的瞬态项，系数B、D为一对共轭虚极点所对应的瞬态项，其中：
输出拉氏反变换后得到的时域输出为
若sk＜0，LHP极点使瞬态输出收敛，只保留稳态项rs（t）输出，则
式中：φ（ω）——G（－jω）的相位；
M（ω）——G（－jω）的模，同时也是G（jω）的模。则
进一步化简后，得到
rs（t）＝AM（ω）sin［ωt＋φ（ω）］ （7－30）
正弦信号输入激励下的时不变线性系统，在没有失真的条件下，输出仍然为同频率的正弦信号，只是振幅和相位有变。由于exp（－st）＝exp（－jωt）代表正弦单频信号输入，则s＝jω的G（jω）可用来描述系统的频率特性。
传递函数G（s）的频率特性可分别用其幅度特性｜G（jω）｜和相位特性∠G（jω）即Bode图表示。采用特性曲线的渐进线近似表示，可以大大简化计算分析。
2）零点、极点的形成与作用
在输入电压或电流激励的条件下，利用RC网络特定的输出，可形成该网络传递函数所对应的零点或极点，极点的LHP性质决定系统稳定性，而LHP极点和零点的位置则决定系统的瞬态响应性能。由于s传递函数的零点、极点与时域输出函数的零、极点有本质区别，因此有必要总结系统零极点的产生机制、相互作用与影响。为求简化，以下均以单级RC系统为例进行分析。
（1）电压输入激励、RC串联网络的积分输出，形成极点
针对图7－12（a）的RC串联网络和电压输入激励，电容输出电压的传递函数为
式中：s＝－p＝－1/RC——该单级系统的LHP极点。
在初始输出为0的1（t）单位阶跃的激励下，因L［1（t）］＝1/s，则输出响应为
以上输出表明，对于输出存在RC的一般电路系统，无论其结构和输入激励如何，输出总包含与时间无关的稳态量或静态量，同时也包含了与时间有关的瞬态量，并且极点反映了输出在特定输入激励下的瞬态响应情况。构成系统的RC级数越多，极点的个数也越多，每一个极点产生一个瞬态输出项，而且当极点为实极点时，其瞬态输出表现为e的指数关系。显然，对于输出收敛的要求，各瞬态项应能随时间的增加而逐渐收敛到0，因此所有的极点必须具有LHP性质。由于瞬态输出构成了初始阶段输出相对于静态输出的误差，因此，极点的绝对值越大，瞬态项的收敛越快，输出响应的速度也越高。
图7－12 RC积分器
根据LHP极点的相对位置，若极点的绝对值越小，输出瞬态项随时间的衰减速度越慢，输出达到相对静态点的某一特定精度则需要更长的时间。根据极点频率ω＝p的定义，ω＝｜s｜＝p＝1/RC，f＝ω/2π＝1/2πRC。
在极点频率下，R＝1/ωC，电容容抗等于电阻阻抗，即电容和电阻电抗达到平衡时所对应的频率，就是极点频率。低阻与小电容对应于大的极点频率。对于稳定的多极点系统而言，绝对值最小的LHP极点定义为系统主极点，主极点对系统输出的瞬态特性影响最大，同时对系统稳定性的影响也最显著。因此，扩展主极点频率对改善系统性能具有重要作用。
在极点频率下，系统的增益和相位将会产生标志性的变化，即当ω＝p时，｜G（jω）｜＝
当遇到一个极点频率后，系统增益值降低到原来的0．707，即降低－3dB，同时产生－45°的相位移。在任意频率下，得到的频率响应与极点位置的关系为
以该极点频率附近前后10倍距离的频率量程内，进一步考察增益和相位的变化，由图7－13的近似结果，发现：
①ω＝10p的高频区域，增益下降近似为原来的1/10，即－20dB；相位移为φ＝－arctan（10）＝－84．3°，接近－90°饱和相位移。
②ω＝p/10的低频区域，增益近似保持不变；相位移为φ＝－arctan（1/10）＝－5．71°，可近似忽略相位移。
在s＞p后，频率每增加10倍，增益下降20dB，即－20dB/dec的下降速率。总的相位移近似为－90°，大致以p为中心，相位变化分布在前后各10倍频的变化范围内，其频响如图7－13所示，相位移的变化近似为线性变化。
图7－13 积分器的频率响应特性示意图
零点对输出的收敛特性没有影响，可为RHP零点、也可为LHP零点。与极点的作用类似，零点除引起增益随频率的变化外，还引起相位移。如仅从相位移频率特性出发，LHP零点与LHP极点引起的相位变化正好相反，对于LHP零点，在零点频率下增益每提高
相位就偏移＋45°，当频率远大于零点频率时，增益上升速率为＋20dB/dec，相位移为90°。因此，LHP零点引起相位超前，可以补偿LHP极点带来的相位滞后，增加相位裕度，改善稳定性。而RHP零点的相位作用则等效于LHP极点，带来更大的相位迟滞，相位裕度降低，稳定性下降。
利用运放的虚短特性及电流连续性条件，构造的完全积分环节如图7－12（b）所示，在运放有限的开环增益Av条件下，得到
整理后得到的积分器传递函数为
当式（7－31）中部分积分器传递函数G（s）中分母多项式的常系数1变为0时，相应的G（s）＝1/（s/p）为理想条件下的完全积分特性。这表明在s《p的低频下系统具有无穷大的增益。采用高增益运放控制实现的有源积分环节可逼近理想完全积分的特性，根据式（7－35）的实际完全积分器的传输特性，开环运放增益越高，越接近理想完全积分器。当进入高频区域后，由于s》p，则部分积分环节与完全积分环节的性能近似相同。
（2）电流输入激励、RC并联网络的积分输出，形成极点
输出激励电流i由MOS管电压控制电流源提供，即i＝gmVi，驱动输出RC并联积分环节后形成Vo电压输出，根据图7－14（a）的小信号等效电路，则该网络传递函数为
图7－14 电流激励下的RC网络响应
以上传递函数实际上就是单级CS放大电路与频率相关的增益函数。RC并联网络形成LHP极点，极点频率为p＝1/RC，因此其频率响应的变化规律与前述电压激励RC串联积分环节相同。
（3）电流激励、RC串联网络，形成零点和低频极点
电流激励的方式保持不变，对象由原来的RC并联改成RC串联，如图7－14（b）所示，则原来的极点改变为当前的零点，即
形成的LHP零点频率为z＝1/RC，同时还形成低频直流原点的极点，即p＝0。在激励信号RC串并联的4种组合中，根据电路的互补对称关系，电压激励下的RC并联等效于电流激励下的RC串联，应形成零点。
（4）电压激励、R与C并联形成零点
在以上3类零极点的产生中，利用的都是RC网络的串联或并联谐振特性，当谐振产生时，电容容抗等于电阻阻抗。当RC串联谐振时，总电抗最小，形成零点；当并联谐振时，总电抗最大，形成极点。此外，还有一种不同的零点形成方式，可等效为RC网络的谐振特性，即利用注入RC网络总电流为零的方法，使输出归零，从而得到系统传递函数中的零点。
以CS单级放大器中Miller电容前馈分析为例，探讨此类零点产生的根源。此时假设输出Vo为零点的条件已成立，即Vo（s）＝0，显然该零点是由外部输出注入到负载网络中的零电流引起。由于MOS管输出到等效负载上的电流为其栅控电流与Miller电容Cm前馈网络电流之差，只有当电容Cm上的前馈电流等于MOS放大管电流时，输出电流为零，形成零点。图7－15（a）中，由输出电流和输出电压均为零的条件，得gmVi＝sCmVi，所形成的RHP零点为s＝gm/Cm，其中gm为Miller电容并联的MOS管跨导参数，而此跨导可视为－1/gm负阻，因此电压激励下负阻与电容的并联形成RHP零点。
图7－15 电压激励RC并联网络形成的零点
因此，改变负阻性质，电压激励也可形成LHP零点，由gm＝Vi/（R＋1/sC）条件，得s＝1/C（1/gm－R），无需负阻电压对RC并联网络的激励也能产生零点，电路如图7－15（b）所示。当RC并联谐振后，其电抗最大，与负载串联后对输入的分压取样输出，则负载上的电压为零，从而形成零点。由于该零点为LHP性质，这就为对以上Miller电容产生的RHP零点通过补偿改变为LHP零点提供的理论依据。
（5）零极点的相互作用
以图7－16所示的R1＋C＋R2一阶系统为例，在电压输入激励下，从电容C＋R2取样输出，则
图7－16 R1＋C＋R2零极点
显然，极点由电压激励的RC串联网络形成，极点频率p＝1/（R1＋R2）C，而零点由等效电流激励（i＝Vi/R1）的RC串联网络提供，零点频率z＝1/R2C。该系统产生均为LHP性质的极点和零点，系统稳定，且p＜z。在初始输出为0的1（t）单位阶跃激励下，输出瞬态响应为
从式（7－39）的瞬态输出特性可以清楚看出，当LHP零点与LHP极点相同即p＝z时，则瞬态项完全消失，表明极点与零点的作用完全抵消。当零点接近极点时，极点的作用被削弱。均为LHP性质且频率充分接近的零点与极点，称为零－极偶对（doublet），简称零极对。显然，充分接近的零极对对系统相位的影响可以忽略，对瞬态响应速度的影响也可忽略，但在某些特定的条件下，有一定分离度的零极对位于电路GBW以内时，将对系统的瞬态特性产生不利的影响。
图7－17 恒流源的频率特性
（6）电流镜形成的零极对
如图7－17所示的M3a与M3b组成电流源结构，该电流镜恒流源作为差分输入对的有源负载，差分输出的电流为Ia与Ib，Ia经M3a到M3b的转换，得到差分的输出电流I2，这是低频下利用电流源的基本传输特性，即
高频下由于C3寄生栅电容的短路作用，电流I感应输入电流Ia的关系产生变化，I＝gm3bV3＝gm3bIa/（gm3a＋sC3）。
在电流镜M3a/M3b的W/L相同的条件下gm3a＝gm3b＝gm3，差分电流I2为
低频s＝0时I2＝gm1Vi满足差分电流约束关系。高频下引入一个零点和一个极点，且零点和极点位置靠近，其中极点频率为p＝gm3/C3，零点频率为z＝2gm3/C3，两者频率相差1倍，由此在GBW附近形成零极偶对。
极点频率的物理意义明确，为M3a的1/gm3电阻与C3组成的RC并联网络在电流驱动下形成的极点频率。零点的物理意义在于，当频率足够高时，C3交流短路，并改变电流I的极性。在s＝－z的LHP零点条件下，M3a电流变为－Ia，C3电流为2Ia，使I＝－Ia，由于Ib＝I，则输出电流I2＝0。在此零极对频率附近，线性电流镜将失去应有的电流传输作用。
7．3．3 双极点模型
在两极点电路模型中，对于开环系统，两LHP极点通常分离为实数极点；对于闭环系统，原来分离的LHP极点将逐步靠近，迫近到一定范围内并相互作用后，甚至变成一对LHP性质的共轭复极点。显然，两极点不同的位置关系代表了不同的系统特性，因此通常需要统一的双极点模型进行对比分析和研究。对于任意两级系统，相对低频增益的归一化二阶传递函数可表示为
式中：ω0——二阶系统固有的谐振频率；
Q——品质因子；
ζ——阻尼因子（damping factor），与Q满足Qζ＝1/2的关系。
以上参数均与系统结构和电路参数有关，在正弦函数激励下Q/2π因子表示为峰值存储能量与每周期耗散能量的比值，Q值越大，则耗散的能量越低，每周期系统积累的能量也越大。
显然，Q或ζ与ω0的状态组合决定了两个极点性质，即是否为不同的LHP实极点，还是一对共轭LHP复极点，甚至是RHP极点。显然，Q值越大，ζ越小，储能元件在一个周期内耗散的能量越小，输出的建立过程越快，过冲越大，而这种过冲必然与极点位置的具体分布有关。过大的过冲虽然对响应速度的提高有利，但却带来稳定性方面的问题。因此，必须通过电路参量设置对Q值或ζ值进行有效控制，并通过以下极点二次多项式的归一化判别式控制，调节两极点的性质和位置，即
当ξ＞1，或Q＜1/2时，两个实极点为
式中，s1取“±”中的减号，s2取“±”中的加号，即极点频率p1＝s1，p2＝－s2，p1＜p2。ζ越大或Q越小，两个极点分离度越好。
在LHP双实极点频率近似下，由式（7－44）决定的次极点频率可表示为
在Q《1/2、ζ》1的条件下，即Q→0，则F（Q）函数充分接近于1，即F1（Q）≈1/2（1＋1－2Q2）＝1－Q2≈1，同理p1＝ω0F1（Q）/Q，F1（Q）＝1/2（1－1＋2Q2）＝Q2。
在此分离实极点的条件下，两输出极点分别为
此时，p1与p2的几何平均为常数ω0，且p2/p1＝1/Q2＝4ζ2。因此，当p1减小时、必然导致p2的增大，反之亦然。两者的分离度随Q减少或ζ增加而增大。当Q增加或ζ减少使p1与p2充分接近并趋于到重合后，极点将改变性质并变为共轭复极点，即在Q》1/2、ζ《1的条件下，一对共轭复极点为
Q值越大、ζ值越小，则一对共轭复极点的实部越接近原点，而虚部越大，更接近于一对共轭虚数极点。
当Q＞1/2、ζ＜1，即过冲过大的条件下降，得到一对共轭复极点。在s＝jω的频率下，传递函数振幅的频率特性代表冲激激励下输出的频率响应，因此将s＝jω代入式（7－42）并求振幅特性
图7－18 共轭复极点位置示意图
令归一化频率因子x＝ω/ω0，｜G（jω）｜函数对x求偏导并令其为零，得到［（1－x12）（－2x）＋x/Q2］＝0。
求得的解对应于输出幅度形成峰值的频率位置条件，即x2＝1－1/（2Q2）或1－x2＝1/（2Q2）。将以上条件代入式（7－48），得到的输出峰值高度为
既然输出为最大峰值，该值就应比归一化值大，因此形成峰值还需附加的一个临界条件为｜G（jω）｜peak≥1，并由ζ＜1的限制，由此得到
将上式代入产生峰值的条件，则峰值点下的归一化频率为
以上结果表明，峰值发生在略小于特征频率的频率点上。峰值过冲的大小与ζ或Q有关，Q越大，或ζ越小，则过冲幅度也越大；而当Q很大或ζ很小（ζ→0）时，则峰值点频率近似为ω≈ω0。很大过冲下幅度输出为｜G（jω）｜≈1/2ζ＝Q。
极点为LHP实极点的条件为ζ＞1或Q＜1/2，而输出产生峰值的条件为ζ＜0．707或Q＞0．707。比较两种条件可以发现，对于实数极点，一定没有峰值产生；对于共轭复极点，才有可能产生输出峰值。频域和时域内的幅度过冲效应如图7－19所示，过小的ζ或过大Q都将引起频域与时域内严重的过冲并引起阻尼振荡。
图7－19 归一化二阶级系统的幅频响应及ζ值相关的过冲
根据极点的不同性质，归一化的二阶传递函数在1（t）阶跃下的输出响应分为两种情况。时域内小信号输出的详细推导见瞬态分析，这里仅给出相关结果。在Q＜1/2、ζ＞1的两实极点条件下，Vo（s）＝1/sG（s）＝p1p2/［s（s＋p1）（s＋p2）］＝1/s＋a/（s＋p1）＋b/（s＋p2），其中a＝p2/（p1－p2），b＝p1/（p2－p1），则拉氏反变换得到时域内输出为
而在Q＞0．5、ζ＜1的共轭复极点条件下，输出为
对应于共轭复极点条件下的输出峰值，其时域响应产生振荡，振荡的幅度随时间衰减，Q越大，衰减的速率越慢。当Q→∞、ζ→0时，形成振荡。当ζ＜0后，产生RHP极点，输出发散，该系统是不稳定的系统。
总之，无论对于何种类型的双极点，在低频下｜G（jω）｜＝1，在ω》ω0的高频下｜G（jω）｜＝（ω/ω0）－2。振幅特性以－40dB/dec速率下降，而在ω0频率附近，振幅特性则与Q值相关。
进一步考虑双极点系统的相位特性，与信号频率相关的系统的相位迟滞量为
ω《ω0的低频下相位移为0°，ω》ω0的高频下达到－180°，在特征频率ω＝ω0下为－90°。因此，以ω0为中心，－180°的相位移分布的前后频率范围为ωL＝10－1/2Qω0＝10－ζω0，ωH＝101/2Qω0＝10ζω0。
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